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Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide concernant cet exercice (niveau 1ère) :

L'expérience consiste à lancer 10 fois de suite une pièce équilibrée.

1. Quelle est la probabilité d'obtenir 10 fois pile ?
2. n personnes réalisent cette expérience ( n entier, n ≥1)
a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité que l'une au moins d'entre elles obtienne 10 fois pile.
b) Combien faut-il au moins avoir de personnes, pour que la probabilité que l'une d'elles au moins obtienne 10 fois pile soit supérieure à la probabilité qu'aucune n'obtienne 10 fois pile ?


Mes réponses :
1) (1/2)^ 10 = 1/1024

2) a) 1 - (1/1024)^n

b) Et là je bloque...


Voilà, en vous remerciant de votre aide
Merci

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

1) ok

2) On répète n fois la même expérience qui n'a que 2 résultats possibles et les résultats sont indépendants. Donc on est dans un schéma de Bernouilli de paramètre p = 1/1024 et la variable aléatoire X qui donne le nombre de nombre de personnes ayant obtenu 10 fois "pile" suit la loi binomiale de paramètres (n;p).

a) La probabilité de "L'une au moins obtient 10 fois pile" = 1 - la probabilité de "Aucune n'obtient 10 fois pile"

soit p(X ≥ 1) = 1 - p(X = 0)

= 1 - (combinaisons de 0 parmi n) x p⁰ x (1 - p)ⁿ

= 1 - 1 x 1 x (1 - 1/1024)ⁿ

= 1 - (10/23/1024)ⁿ

b) p(X ≥ 1) > p(X = 0)

⇔ 1 - (1023/1024)ⁿ > (1023/1024)ⁿ

⇔ 1/2 > (1023/1024)ⁿ

⇒ ln(1/2) > n x ln(1023/1024)

⇒ n > -ln(2)/[ln(1023) - ln(1024)]      (ln(1/2) < 0 donc l'inégalité change de sens)

soit n > 709,4...

donc n ≥ 710
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