Exercice 10
Question 1
Pour la première option, entre 0 et 500 kilomètres, le tarifs ne dépend pas du nombre de
kilomètres effectués mais est un forfait de 250 euros : le tarif est alors
constant.
Au-delà 500 km, le tarif dépend du nombre de km effectués en
plus.
Si [tex]x[/tex] est le nombre total de km effectués, le nombre de km effectués au-delà de 500 est
: [tex]x-500[/tex]
Or pour chaque kilomètre effectué en plus, la dépense est de
0,4 euro, en plus des 250 euros déjà dépensés pour les 500 premiers kilomètres.
Donc pour [tex](x-500)[/tex] kilomètres effectués en plus,la
dépense supplémentaire est de [tex][0,4(x-500)][/tex] euros, en plus des
250 euros déjà déjà dépensés pour les 500 premiers kilomètres.
Donc
si [tex]0 \leq x \leq 500[/tex] alors f(x) est une
constante : f(x)=250
si [tex]x\ \textgreater \ 500[/tex] alors f(x) est une
fonction de x :
[tex]f(x)=250+0,4(x-500)[/tex]
Question 2
Si g(x) représente l'évolution du coût de location en
fonction du nombre de kilomètres, pour l'option B : ce coût est constant et
fixé à 650 euros quelque soit le nombre x de kilomètre. Donc g(x) est une
constante et ne dépend pas de x : g(x) = 650
Si h(x) représente l'évolution du coût de location en
fonction du nombre de kilomètres, pour l'option C : le coût dépend dès les
premiers mètres parcourus de la distance effectué. h(x) dépend de x puisque
pour chaque kilomètre parcouru, il faut dépenser 0,5 euro.
Donc [tex]h(x)=0,5x[/tex] qu'on peut aussi écrire [tex]h(x)=
\frac{1}{2} x[/tex]
Question 3 : voir pièce jointe
Question 4
Si le nombre x de km
est inférieur à 500 alors :
f(x)=250
g(x)=650
h(x)= 0,5x
Comme [tex]x\ \textless \ 500[/tex], [tex]0,5x\ \textless \
0,5*500[/tex]
Donc [tex]0,5x\ \textless \ 250[/tex] : h(x) < 250.
Donc en-dessous de 500 km, c'est h(x) qui est le plus petit.
Cela correspond à la partie gauche du graphique, où la droite verte se trouve
en-dessous les autres droites. Donc en-dessous 500
km,le tarif C est le plus intéressant.
Après 500 km, quand
est-ce que le tarif A est inférieur au tarif C ?
Pour répondre,il faut résoudre l'inéquation f(x) < h(x), soit :
Si x> 500 alors f(x) = 250 + 0,4(x-500) et h(x)=0,5x
Donc f(x) < h(x) ⇔ 250 + 0,4(x-500) < 0,5x
⇔ 50 + 0,4x < 0,5x
⇔ 50 < 0,1 x ⇔ 500 < x
Or, puisque nous sommes au-delà 500 km, x est
toujours supérieur à 500.
Donc f(x) est toujours inférieur à h(x) après 500 km.
(En effet,sur le graphique, lorsque x > 500, la droite
rouge est toujours dessous la droite verte.)
Après 500 km, quand est-ce que
le tarif A est inférieur au tarif B ?
Le tarif B est constant à 650 euros.
Pour répondre,il faut résoudre l'inéquation f(x) < g(x) soit f(x) <
650
f(x) < 650 ⇔ 250 + 0,4(x-500) < 650 ⇔ 50 + 0,4x < 650 ⇔ 0,4x < 600
donc [tex] \frac{4}{10} x\ \textless \ 600[/tex]
donc [tex]x\ \textless \ 600* \frac{10}{4} [/tex] ⇔ x < 1500
Donc, entre 500 et 1500
km, le tarif A est inférieur au tarif B.
(Effectivement, sur le graphique, pour x entre 500 et 1500,
la droite rouge correspond au tarif A est la plus basse.)
Au-delà 1500 km, le
tarif B devient inférieur au tarif A, qui est lui-même inférieur au tarif C (puisque nous avons vu ci-dessus qu'après 500 km, le tarif A était toujours
inférieur au tarif C).
(Effectivement,sur le graphique,pour x >1500, la droite
bleue correspondant au tarif B est la plus basse.)
En conclusion,
de 0 à 500 km, le
tarif C est le plus faible ;
de 500 à 1500 km, le
tarif A est le plus faible ;
au-delà de 1500 km,
le tarif B est le plus faible.
