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Noline
Answered

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Coucou,

Prouve que : Cos x+cos(x+2\pi /3)+cos(x+4\pi /3)= 0
Merci pour votre aide!

Sagot :

Stiaen
Bonjour,

Il s'agit de démontrer que:

[tex]\cos(x)+\cos\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\dfrac{4\pi}{3}\right)=0\\\\\\\text{ donc }\left(\cos\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\dfrac{4\pi}{3}\right)\right)=-\cos(x)[/tex]

Pour cela nous allons utiliser la formule trigonométrique suivante:

[tex]\cos(a)+\cos(b)=2\cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\times\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)[/tex]

Application:

[tex]\cos\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\dfrac{4\pi}{3}\right)\\\\\\=2\cos\left(\dfrac{x+\dfrac{2\pi}{3}+x+\dfrac{4\pi}{3}}{2}\right)\times\cos\left(\dfrac{x+\dfrac{2\pi}{3}-x-\dfrac{4\pi}{3}}{2}\right)\\\\\\=2\cos\left(\dfrac{2x+\dfrac{6\pi}{3}}{2}\right)\times\cos\left(\dfrac{-\dfrac{2\pi}{3}}{2}\right)\\\\\\=2\cos\left(\dfrac{2x+2\pi}{2}\right)\times\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\\\\\\=2\cos(x+\pi)\times\dfrac{1}{2}\\\\\\=-2\cos(x)\times\dfrac{1}{2}\\\\\\=\boxed{-\cos(x)}[/tex]

En conclusion:


[tex]\cos(x)+\cos\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\dfrac{4\pi}{3}\right)\\\\\\=\cos(x)-\cos(x)\\\\=0[/tex]


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