Bonjour,
Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x²
1.
a. Les antécédents de 1 par f sont -1 et 1
Les antécédents de 9 par f sont -3 et 3
L'unique antécédent de 0 par f est 0
-16 n'admet aucun antécédent par f
b. Graphiquement :
f(x) < 1 ⇒ x∈]-1;1[
f(x) > 9 ⇒ x∈]-∞-3[∪]3;+∞[
f(x) ≥ 0 ⇒ x∈ℝ
f(x) ≤ -16 ⇒ x∈∅
2. On pose les équations suivantes dans ℝ.
f(x) = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x²-1 = 0 ⇒ (x-1)(x+1) = 0 ⇒ x-1 = 0 ou x+1 = 0 ⇒ x = 1 ou x = -1
f(x) = 9 ⇒ x² = 9 ⇒ x²-9 = 0 ⇒ (x-3)(x+3) = 0 ⇒ x-3 = 0 ou x+3 = 0 ⇒ x = 3 ou x = -3
f(x) = 0 ⇒ x² = 0 ⇒ (x)(x) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 0 ⇒ x = 0
f(x) = -16 ⇒ x² = -16, or un nombre réel élevé au carré est toujours positif, donc l'équation f(x) = 16 n'admet pas de solution dans ℝ, donc x∈∅
3. Soit k∈ℝ fixé.
a. Graphiquement, on trouve que l'équation x² = k admet deux solutions dans ℝ : √k et -√k
b. On pose l'équation suivante dans ℝ : f(x) = k ⇒ x² = k ⇒ x²-k = 0 ⇒ (x-√k)(x+√k) = 0 ⇒ x-√k = 0 ou x+√k = 0 ⇒ x = √k ou x = -√k
