Bonjour,
Soient f et g deux fonctions définies sur ℝ par f(x) = x² et g(x) = x
1.
a. Graphiquement, f(x) = g(x) ⇒ x = 0 ou x = 1
b. Graphiquement :
f(x) ≤ g(x) ⇒ x∈[0;1]
f(x) ≥ g(x) ⇒ x∈ℝ⁻∪[1;+∞[
2. f(x) = g(x) ⇒ x² = x ⇒ x²-x = 0 ⇒ x(x)-x(1) = 0 ⇒ x(x-1) = 0
D'où f(x) = g(x) ⇒ x = 0 ou x-1 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1
3.
a. On pose k = 1/2
On a k² = (1/2)² = (1²)/(2²) = 1/4, d'où k² < k
Donc l'assertion "Le carré d'un nombre est toujours plus grand ou égal à ce nombre" est fausse.
b. On reprend exactement le même raisonnement que celui de la question précédente.
Donc l'assertion "Le carré d'un nombre positif est toujours plus grand ou égal à ce nombre" est fausse.
c. Un nombre réel élevé au carré est toujours positif, donc cela est également valable pour les réels négatifs. Or on sait qu'un nombre positif est toujours supérieur ou égal à un nombre négatif.
Donc l'assertion "Le carré d'un nombre négatif est toujours plus grand ou égal à ce nombre" est vraie.
