Bonsoir,
On cherche à déterminer cos(kπ/8) et sin(kπ/8), avec k∈⟦1;7⟧\{4}
1. Les valeurs 0, 4 et 8 ne sont pas envisagées pour k car cela donnerait des valeurs de cosinus et de sinus d'angles usuels.
En effet, 0π/8 = 0, 4π/8 = π/2, 8π/8 = π, et on connaît déjà leurs cosinus et sinus respectifs : cos(0) = sin(π/2) = 1, sin(0) = cos(π/2) = sin(π) = 0, et cos(π) = -1
2. Les autres valeurs entières de k ne sont pas non plus envisagées, car les valeurs de cos(kπ/8) et sin(kπ/8) avec les autres valeurs entières de k se retrouvent facilement grâce aux formules usuelles de trigonométrie à partir des valeurs de cos(kπ/8) et sin(kπ/8) avec k∈⟦1;7⟧\{4}
3. On pose k = 6. D'où cos(kπ/8) = cos(6π/8) = cos(3π/4) = -√2/2
4. On sait que ∀x∈ℝ, cos(2x) = 2cos²(x)-1
D'où cos(2x/2) = 2cos²(x/2)-1
cos(x) = 2cos²(x/2)-1
2cos²(x/2) = 1+cos(x)
cos²(x/2) = (1+cos(x))/2
5. Ainsi, cos²(π/8) = cos²((π/4)/2) = (1+cos(π/4))/2 = (1+(√2/2))/2
D'où cos(π/8) = √((1+(√2/2))/2) ou cos(π/8) = -√((1+(√2/2))/2)
Or π/8∈]-π/2;π/2[, d'où cos(π/8) > 0
Donc cos(π/8) = √((1+(√2/2))/2) = √(((2+√2)/2)/2) = √((2+√2)/4) = √(2+√2)/(√4) = √(2+√2)/2
6. On sait que ∀x∈ℝ, cos(2x) = 1-2sin²(x)
D'où cos(2π/8) = 1-2sin²(π/8)
cos(π/4) = 1-2sin²(π/8)
2sin²(π/8) = 1-cos(π/4)
2sin²(π/8) = 1-(√2/2)
2sin²(π/8) = (2-√2)/2
sin²(π/8) = (2-√2)/4
sin(π/8) = √((2-√2)/4) ou sin(π/8) = -√((2-√2)/4)
Or π/8∈]0;π[, d'où sin(π/8) > 0
Donc sin(π/8) = √((2-√2)/4) = √(2-√2)/(√4) = √(2-√2)/2
On sait que ∀x∈ℝ, cos((π/2)-x) = sin(x)
D'où cos((π/2)-(π/8)) = sin(π/8)
Or (π/2)-(π/8) = (4π/8)-(π/8) = 3π/8
Donc on obtient cos(3π/8) = sin(π/8) = √(2-√2)/2
7. On sait que ∀x∈ℝ, cos(π-x) = -cos(x)
D'où on a cos(π-(3π/8)) = -cos(3π/8)
cos((8π/8)-(3π/8)) = -cos(3π/8)
Donc cos(5π/8) = -cos(3π/8) = -√(2-√2)/2
De plus, on a cos(π-(π/8)) = -cos(π/8)
cos((8π/8)-(π/8)) = -cos(π/8)
Donc cos(7π/8) = -cos(π/8) = -√(2+√2)/2
8. Pour obtenir les valeurs de cos(kπ/8) pour k∈⟦9;15⟧\{12}, il suffit de reprendre les valeurs de cos(kπ/8) pour k∈⟦1;7⟧\{4}, et d'utiliser l'une de ces deux relations trigonométriques usuelles :
∀x∈ℝ,
cos(-x) = cos(x)
cos(x+π) = -cos(x)
Exemples :
cos(9π/8) = cos(-7π/8) = cos(7π/8) = -√(2+√2)/2
cos(13π/8) = cos((5π/8)+π) = -cos(5π/8) = -(-√(2-√2)/2) = √(2-√2)/2
