Ex 4 : f(z)=z'=1/z où z est nombre complexe non nul
1) A(1+2i) donc a=1+2i
donc a'=1/(1+2i)=(1-2i)/(1²+2²)=1/5-2/5.i
2) soit M(z) un point invariant de f
alors f(z)=z donc 1/z=z donc z²=1
on pose z=a+ib donc (a+ib)²=1 donc a²+2aib-b²=1
donc a²-b²=1 et 2ab=0
donc a=1 et b=0 donc z=-1 ou z=1
3) on pose z=x+iy
a) z'=1/z=1/(x+iy)=(x-iy)/(x²+y²)=x/(x²+y²)+(-y)/(x²+y²).i
donc Re(z')=x/(x²+y²) et Im(z')=-y/(x²+y²)
b) z' est imaginaire pur donc Re(z')=0 donc x/(x²+y²)=0 donc x=0
c) z' est réel donc Im(z')=0 donc -y/(x²+y²)=0 donc y=0
