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Sagot :
Bonjour,
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Rappel de cours : [Formules de duplication]
Soit x un nombre réel.
cos(2x) = 2cos²(x)-1 = 1-2sin²(x)
sin(2x) = 2cos(x)sin(x)
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cos(3x) = cos(2x+x) = cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x) = (2cos²(x)-1)cos(x)-2cos(x)sin(x)sin(x) = 2cos³(x)-cos(x)-2sin²(x)cos(x) = 2cos³(x)+cos(x)(-1-2sin²(x)) = 2cos³(x)-cos(x)-2sin²(x)cos(x) = 2cos³(x)+cos(x)(-1-2sin²(x)) = 2cos³(x)+cos(x)(1-2sin²(x)-2) = 2cos³(x)+cos(x)(2cos²(x)-1-2) = 2cos³(x)+cos(x)(2cos²(x)-3) = 2cos³(x)+2cos³(x)-3cos(x) = 4cos³(x)-3cos(x)
Donc cos(3x) = 4cos³(x)-3cos(x)
sin(3x) = sin(2x+x) = sin(2x)cos(x)+cos(2x)sin(x) = 2cos(x)sin(x)cos(x)+(1-2sin²(x))sin(x) = 2cos²(x)sin(x)+sin(x)-2sin³(x) = sin(x)(2cos²(x)+1)-2sin³(x) = sin(x)(2cos²(x)-1+2)-2sin³(x) = sin(x)(1-2sin²(x)+2)-2sin³(x) = sin(x)(3-2sin²(x))-2sin³(x) = 3sin(x)-2sin³(x)-2sin³(x) = 3sin(x)-4sin³(x)
Donc sin(3x) = 3sin(x)-4sin³(x)
On a cos(3x) = 4cos³(x)-3cos(x)
D'où 4cos³(x) = cos(3x)+3cos(x)
Donc cos³(x) = (1/4)(cos(3x)+3cos(x))
On a sin(3x) = 3sin(x)-4sin³(x)
D'où 4sin³(x) = 3sin(x)-sin(3x)
Donc sin³(x) = (1/4)(3sin(x)-sin(3x))
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Rappel de cours : [Formules de duplication]
Soit x un nombre réel.
cos(2x) = 2cos²(x)-1 = 1-2sin²(x)
sin(2x) = 2cos(x)sin(x)
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cos(3x) = cos(2x+x) = cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x) = (2cos²(x)-1)cos(x)-2cos(x)sin(x)sin(x) = 2cos³(x)-cos(x)-2sin²(x)cos(x) = 2cos³(x)+cos(x)(-1-2sin²(x)) = 2cos³(x)-cos(x)-2sin²(x)cos(x) = 2cos³(x)+cos(x)(-1-2sin²(x)) = 2cos³(x)+cos(x)(1-2sin²(x)-2) = 2cos³(x)+cos(x)(2cos²(x)-1-2) = 2cos³(x)+cos(x)(2cos²(x)-3) = 2cos³(x)+2cos³(x)-3cos(x) = 4cos³(x)-3cos(x)
Donc cos(3x) = 4cos³(x)-3cos(x)
sin(3x) = sin(2x+x) = sin(2x)cos(x)+cos(2x)sin(x) = 2cos(x)sin(x)cos(x)+(1-2sin²(x))sin(x) = 2cos²(x)sin(x)+sin(x)-2sin³(x) = sin(x)(2cos²(x)+1)-2sin³(x) = sin(x)(2cos²(x)-1+2)-2sin³(x) = sin(x)(1-2sin²(x)+2)-2sin³(x) = sin(x)(3-2sin²(x))-2sin³(x) = 3sin(x)-2sin³(x)-2sin³(x) = 3sin(x)-4sin³(x)
Donc sin(3x) = 3sin(x)-4sin³(x)
On a cos(3x) = 4cos³(x)-3cos(x)
D'où 4cos³(x) = cos(3x)+3cos(x)
Donc cos³(x) = (1/4)(cos(3x)+3cos(x))
On a sin(3x) = 3sin(x)-4sin³(x)
D'où 4sin³(x) = 3sin(x)-sin(3x)
Donc sin³(x) = (1/4)(3sin(x)-sin(3x))
Autre méthode :
e^(3ix)=cos(3x)+isin(3x) et e^(-3ix)=cos(3x)-isin(3x)
(Formules d'EULER)
donc cos(3x)=(e^(3ix)+e^(-3ix))/2 et sin(3x)=(e^(3ix)-e(-3ix))/(2i)
donc :
cos³(x)=((e^(ix)+e^(-ix))/2)^3
=1/8(e^(3ix)+3e^(ix)+3e^(-ix)+e^(-3ix))
=1/8(2cos(3x)+3cos(x))
=1/4cos(3x)+3/8cos(x)
de meme :
sin³(x)=((e^(ix)-e^(-ix))/(2i))^3
=-1/(8i)*(e^(3ix)-3e^(ix)+3e^(-ix)-e^(-3ix))
=-1/(8i)*(2i.sin(3x)+6i.sin(x))
=-1/4sin(3x)+3/4sin(x)
e^(3ix)=cos(3x)+isin(3x) et e^(-3ix)=cos(3x)-isin(3x)
(Formules d'EULER)
donc cos(3x)=(e^(3ix)+e^(-3ix))/2 et sin(3x)=(e^(3ix)-e(-3ix))/(2i)
donc :
cos³(x)=((e^(ix)+e^(-ix))/2)^3
=1/8(e^(3ix)+3e^(ix)+3e^(-ix)+e^(-3ix))
=1/8(2cos(3x)+3cos(x))
=1/4cos(3x)+3/8cos(x)
de meme :
sin³(x)=((e^(ix)-e^(-ix))/(2i))^3
=-1/(8i)*(e^(3ix)-3e^(ix)+3e^(-ix)-e^(-3ix))
=-1/(8i)*(2i.sin(3x)+6i.sin(x))
=-1/4sin(3x)+3/4sin(x)
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