Bonjour,
1) f(x) est définir pour tout x tel que (x-1)²≠0
(x-1)²≠0⇔x-1≠0⇔x=1
Donc DF=IR-{1}
2)Il ya donc 4 bornes à étudier.
-∞,+∞,1 en borne inférieure et 1 en borne supérieure.
[tex] \lim_{x \to- \infty} \frac{6x+3}{x^2-2x+1} \\ = \lim_{x \to- \infty} \frac{6x}{x^2}
\\ =\lim_{x \to- \infty} \frac{6}{x} \\ =0 \\ \\ \\ \lim_{x \to\infty} \frac{6x+3}{x^2-2x+1} \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{x^2}
\\ =\lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} \\ =0 \\ \\ \\ \lim_{x \to1-} \frac{6x+3}{x^2-2x+1} \\ = \lim_{x \to1-} \frac{6+3}{1-2+1} \\ = \frac{9}{0+} \\ =\infty \\ \\ \\ [/tex]
[tex] \lim_{x \to1+} \frac{6x+3}{x^2-2x+1} \\ = \lim_{x \to1+} \frac{6+3}{1-2+1} \\ = \frac{9}{0+} \\ =+\infty[/tex]
il ya donc une asympote verticale d'equation x=1
Et une equation horizontale y=0
3)Calculons la dérivée de f(x)
[tex]f'(x)= \frac{6*(x-1)^2-(6x+3)*2*(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{6*(x-1)-2*(6x+3)}{(x-1)^3} \\ =
\frac{6x-6-12x-6}{(x-1)^3} = \frac{-6x-12}{(x-1)^3} = \frac{-6(x+2)}{(x-1)^3}
[/tex]
-6 est toujours négatif
(x-1)^3 est négatif sur ]-infini;1] et positif sur [1;+infini[
x+2 est négatif sur ]-infini;-2] et positif sur [-2;+infini[
Nous obtenons le tableau de signe suivant, ainsi que le tableau de variation (voir PJ)
4)Equation de la tangeante:
y=f'(4)(x-4)+f(4)
f'(4)=-6(4+2)/3^3=-36/27=-4/3
f(4)=6*4+3/3^2=27/9=3
Donc y=-4/3(x-4)+3=-4/3x+16/3+3=-4/3x+25/3
5)Voir PJ
6)Soit l'equation
mx²-x(2m+6)+m-3=0
Calculons Δ=b²-4ac=(2m+6)^2-4*m*(m-3)=4m²+24m+36-4m²+12m=36m+36
Δ est nul pour m=-1, auquel cas l'equation admet une solution : -b/2a=(2m+6)/2m=2*-1+6/2*-1=4/-2=-2
Et l'equation est du signe de a =m =-1 c'est à dire, négatif.
Δest négatif pour m<-1, auquel cas l'equation n'admet aucune solution, et elle est du signe de m, c'est à dire négative également.
Δ est positive pour m>-1, auquel cas il ya deux solutions:
[tex]x1= \frac{(2m+6)- \sqrt{36m+36} }{2m} = \frac{2m+6-6 \sqrt{m+1} }{2m}= \frac{m+3-3 \sqrt{m+1} }{m}\\ x2= \frac{(2m+6)+ \sqrt{36m+36} }{2m} = \frac{2m+6+6 \sqrt{m+1} }{2m}= \frac{m+3+3 \sqrt{m+1} }{m}[/tex]
Elle est du signe de m a l'extérieur des racines, c'est a dire sur
[tex]]-\infty;\frac{m+3-3 \sqrt{m+1} }{m}]U[\frac{m+3+3 \sqrt{m+1} }{m};+\infty[[/tex] et du signe opposé de m, entre les racines, c'est à dire sur
[tex][\frac{m+3-3 \sqrt{m+1} }{m};\frac{m+3+3 \sqrt{m+1}} {m}][/tex]
