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Bonjour j'ai un problème avec mon devoir, je ne parviens pas à montrer l'unicité des polynômes de Tchebychev, voici la question :

Montrer que Pn est l'unique polynome P de R[X] vérifiant pour tout réel α , Pn(cos α) = cos(nα)
Avec Pn+2 = 2XPn+1 - Pn et P0 = 1 et P1 = X

Je précise que dans les questions précédente on a montré que Pn est de degré n et que son coefficient dominant est 2^(n-1) ,
on a aussi montré que si n est pair Pn est pair et si n impaire alors Pn impaire,
on a aussi montré que Pn(0) = cos(n*pi/2) que Pn(1) = 1 et Pn(-1) = (-1)^n
et enfin on a montré que Pn(cos(α)) = cos(nα)

Merci à ceux qui pourront m'apporter une aide

Sagot :

salut!
Soit Qn,Pn deux suites de polynômes de tchébychev.
Posons pour tout n Rn=Pn-Qn vérifie Rn(cos(a))=0 pour tout a réel. Donc Rn admet une infinité de racines mais est de degré n donc R=0 d'où l'unicité
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