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Bonjour, un peu d'aide SVP : On calcule la somme de deux nombres entiers strictement positifs, leur produit, leur différence (le plus grand moins le plus petit), et la puissance du premier d'exposant le second. En additionnant les quatre résultats, on trouve 88. Quels étaient les deux nombres de départ ? (merci pour le détail des calculs)
En vous remerciant


Sagot :

Bonjour ;

Soient n et m deux nombres entiers naturels tels que 0 < m ≤ n .

On a :

[tex](n + m) + nm + (n - m) + n^m = 2n + nm + n^m \\\\\\ = n(2 + m + n^{m-1}) = 88 .[/tex]

Les diviseurs de 88 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 11 ; 22 ; 44 et 88 .

D'après l'expression qu'on a calculée , n est aussi un diviseur de 88 ;

donc : n ∈ {1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 11 ; 22 ; 44 ; 88 }  .

Procédons par cas .

Si n = 1 , on a obligatoirement m = 1 et 1 x (2 + 1 + 1^0) = 4 < 88 ;
donc c'est un cas à écarter .

Si n = 2 , on a obligatoirement m ∈ {1 ; 2}
et  2 x (2 + m + 1^{m-1}) = 8 ou 12 qui sont différents de 88 ;
donc c'est un cas à écarter .

Si n = 4 , on a obligatoirement m ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4}
et  4 x (2 + m + 4^{m-1}) = 16 ; 32 ; 80 ou 280 qui sont différents de 88 ;
donc c'est un cas à écarter .

Si n = 8 , on a obligatoirement m ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ..... ; 8}
qui est aussi un cas à écarter .

Si n = 11 , on a obligatoirement m ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ..... ; 11}
est aussi un cas à écarter .

Si n = 22 , on a obligatoirement m ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ..... ; 22} .
Pour ce cas , si m = 1 , on a :
22 x (2 + 1 + 22^0) = 22 x 4 = 88 .
C'est le seul cas valable .

Les cas où n = 44 ou n = 88 ne donnent pas le résultat éscompté .

Conclusion :
Les nombres recherchés sont : n = 22 et m = 1 .