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Bonjour, s'il vous plaît pourriez-vous m'aider pour un exercice de maths.

Partie I
On considère la fonction numérique g définie sur ]0;+infini[ par 
g(x) = x² – 2lnx

1) Etude le sens de variation de g.
2) En déduire le signe de g(x) sur ]0; +∞[

Partie II

On considère la fonction numérique f défini sur ]0;+∞[ par 
f(x) = \frac{x}{2} +\frac{1+lnx}{x} 
On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; vecteur i; vecteur j) (unité graphique : 2cm)

1) Déterminer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
2) Déterminer la limite de f en + ∞. On admet que la droite (Δ) d'équation y = x/2 est une asymptote à la courbe (C).
Déterminer la position de (C) par rapport à (Δ) sur ]0; +∞[. Montrer que (Δ) coupe (C) en un point A que l'on précisera.
3) Étudier le sens de variation de f. Dresser le tableau de variation de f.
4) Montrer qu'il existe un unique point B de la courbe (C) où la tangente (T) est parallèle à (Δ)
5) Montrer que l'équation f(x) = 0 a une unique solution alpha. Exprimer ln(alpha) en fonction de alpha. Montrer que le coefficient directeur de la tangente à (C) au point d'abscisse alpha est supérieur à 1. On admettra que 0,31 < alpha < 0,35.
6) Représenter succinctement la courbe (C) et les droites (Δ) et (T).

Sagot :

ProfdeMaths1
f(x) = x/2 +(1+ln(x))/x
f est définie et dérivable sur ]0; +∞[

1) f(x) = x/2 +(1+ln(x))/x
or lim(x/2,0)=0, lim(1+ln(x),0)=-∞ , lim(1/x,0+)=+∞
⇒ lim(f(x),0+)=-∞

2) f(x) = x/2 +1/x+ln(x)/x
or lim(x/2,+∞)=+∞ , lim(1/x,+∞)=0 , lim(ln(x)/x,+∞)=0
⇒ lim(f(x),+∞)=+∞
On admet que la droite (Δ) d'équation y = x/2 est une asymptote à la courbe (C).
f(x)-x/2=(1+ln(x))/x
f(x)-x/2=0 ⇒ (1+ln(x))/x=0 ⇒ ln(x)=-1 ⇒ x=1/e
 (Δ) coupe (C) en un point A(1/e;1/(2e))

3) f'(x)=1/2+(1/x.x-1-ln(x))/x²=1/2-ln(x)/x²=(x²-2ln(x))/(2x²)
f'(x)=0 ⇒ x²-2ln(x)=0 ⇒ ∅ (cf A))
d'apres A) f'(x)>0 ⇒ f strict croissante sur ]0;+∞[

4) il existe un unique point B de la courbe (C) où la tangente (T) est parallèle à (Δ) si l'équation f'(x)=1/2 possède au moins 1 sol
f'(x)=1/2 ⇒ (x²-2ln(x))/(2x²)=1/2 ⇒ x²-2ln(x)=x² ⇒ -2ln(x)=0 ⇒ x=1
⇒ B(1;3/2) convient

5) l'équation f(x) = 0 a une unique solution α en appliquant le th des valeurs intermédiaires à f sur [0;1]
* f est bijective de [0;1] vers [f(0);f(1)]
* f est continue sur [0;1]
* f(0)<0 et f(1)>0
⇒ f(α)=0 et α=0,34645092...
f(α)=0 ⇒ α/2+(1+ln(α))/α=0 ⇒ 1+ln(α)=-α²/2 ⇒ ln(α)=-1-α²/2

6) graphique
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