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Bonjour à tous,
J'ai plusieurs exercices à faire pour la rentré heureusement il m'en reste plus que un ! Dont je bloque car c'est un nouveau chapitre qui me pose particulièrement problème.
Voici l'énoncé :
Il y a 3 questions

On considère la suite (Vn) définie pour tout entier n par Vn = Un - 5

[1]

a) Calculer Vo
b) Montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison 1,2
c) Exprimer (Vn) en fonction de n
d) En déduire (Un) en fonction de n
e) Calculer Vo + V1 + ... + V10

[2]

a)Calculer S = Uo + U1 + ... + U10

[3]

a) Déterminer le plus petit entier n tel que la somme S soit supérieure à 2000 (par le calcul)


Sagot :

ProfdeMaths1
1) v(0)=u(0)-5=15
v(n+1)=u(n+1)-5
              =1,2u(n)-1-5
             =1,2u(n)-6
             =1,2(v(n)+5)-6
             =1,2v(n)
⇒ (v) est une suite géométrique de raison q=1,2
⇒ v(n=v(0)*q^n=15*1,2^n
⇒ u(n)=v(n)+5=5+15*1,2^n
S(10)=v(0)+...+v(10)=15*(1-1,2^11)/(1-1,2)=482,256

2) S'(10)=u(0)+...+u(10)
         =S(10)+11*5
         =537,256

3) S(n)>2000 ⇒ 5(n+1)+15*(1-1,2^(n+1))/(-0,2)>2000
                  ⇒ 5n+5+75(1,2^(n+1)-1)>2000
                  ⇒ 5n+75*1,2^(n+1)>2070
                  ⇒ n≥17
Croisierfamily
Uo = 2o ; Un+1 = 1,2 Un - 1
tableau :
n               0               1              2              3                4               5
Un          2o              23           26,6        3o,92         36,1o4     42,3248
Vn          15              18           21,6         25,92        31,1o4     37,3248

Vn = Un - 5   
 Vn+1 = Un+1 - 5 = 1,2 Un - 1 - 5 = 1,2 Un - 6 = 1,2 (Un - 5) = 1,2 Vn

(Vn) est bien une suite géométrique
de terme initial Vo = 15 et de raison "q" = 1,2
 Vn = 15 * 1,2∧n

Un = Vn + 5 = (15 * 1,2 ∧n) + 5

Somme de Vo jusqu' à V10 = 15 * ( 1 - 1,2 ∧11 ) / ( 1 - 1,2 )
                                            = 15 * ( - 6,43oo837 ) / ( - 0,2 )
                                            = 482, 25628 environ
Somme de Uo à U10 = 482,2563 + 5 * 11 = 537,256 environ

on veut Somme de Uo à Un ≥ 2ooo :
[ 15 * ( 1 - 1,2 ∧(n+1) ) / ( - 0,2 ) ] + 5 * ( n + 1 ) ≥ 2ooo
                          75 * ( 1,2 ∧(n+1) - 1 ) + 5n + 5 ≥ 2ooo
                            15 * ( 1,2 ∧(n+1) - 1 ) + n + 1 ≥ 4oo
                                  15 * ( 1,2 ∧(n+1) - 1 ) + n ≥ 399
                                                                        n ≥ 16,97
on retient la valeur n = 17 .
vérification : Somme de Uo à U17 = 75 * (1,2∧18  - 1 ) + 5 * 17 + 5
                                                       = 75 * 25,6233333    + 85     + 5
                                                       = 1921,75                   + 9o
                                                       = 2o11,75 environ > 2ooo   
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