1) on simplifie la fonction f avec une erreur dans l'énoncé
f(x)=0,8x si x∈[0;1]
f(x)=1,6-0,8x si x∈]1;2]
f(x)=-0,2+0,1x si x∈]2;4]
∫f(x).dx=1*0,8/2=0,4 sur [0;1]
∫f(x).dx=1*0,8/2=0,4 sur [1;2]
∫f(x).dx=2*0,2/2=0,2 sur [0;1]
⇒ on vérifie que ∫f(x).dx=1 sur [0;4]
de plus f est positive sur [2;4]
⇒ f est une densité de probabilité sur [2;4]
2) graphique (annexe)
3) p(X=0,5)=0 car f est une densité continue
p(X≤0,5)=∫f(x).dx sur [0;0,5] ⇒ p(X≤0,5)=0,5*0,4/2=0,1
p(X>0,5)=1-p(X≤0,5)=0,9
p(1≤X≤2)=∫f(x).dx sur [1;2] ⇒ p(1≤X≤2)=0,4
p(1,5≤X≤2,5)=∫f(x).dx sur [1,5;2,5] ⇒ p(1,5≤X≤2,5)=0,1125
⇒ p((1,5≤X≤2,5)/(1≤X≤2))=(p(1,5≤X≤2,5))/(p(1≤X≤2))=0,1125/0,4=0,28125
