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Sagot :
Il faut tracer la fonction f:x -> x^2 + x + 1, et chercher l'intersection de la courbe avec la droite d'équation y=k.
Ici, si k<1, il n'y a pas d'intersection, donc f(x)=k n'a pas de solution.
Si k=1, il y a une seule intersection, en x=0, c'est donc la seule solution.
Si k>1, il y a deux intersections, qui sont donc les deux solutions.
Ici, si k<1, il n'y a pas d'intersection, donc f(x)=k n'a pas de solution.
Si k=1, il y a une seule intersection, en x=0, c'est donc la seule solution.
Si k>1, il y a deux intersections, qui sont donc les deux solutions.
Discuter selon les valeurs de k le nombre de solutions de x² + x + 1 = k
x² + x + 1 = k ⇔ x² + x + (1 - k) = 0
Δ = 1 - 4(1 - k)
si Δ > ⇔ 1 - 4 + 4 k > 0 ⇒ 4 k - 3 > 0 ⇒ k > 3/4 ]3/4 ; + ∞[
on a deux solutions x1 et x2
x1 = - 1 + √4 k - 3)/2 et x2 = - 1 - √4 k - 3)/2
si Δ = 0 ⇔ 4 k - 3 = 0 ⇒ k = 3/4
on a une seule solution x1 = - 1/2
si Δ < 0 ⇔ 4 k - 3 < 0 ⇒ k < 3/4 pas de solutions
comment résout - on f(x) = k graphiquement
on trace la courbe f(x) = x² + x + 1 la courbe ne coupent pas l'axe des abscisses et elle passe par l'ordonnée 1 donc c'est une parabole tournée vers le haut
et on a y = k
pour k = 0 la droite y = k ne coupe pas la courbe de f(x)
pour k = 1 on a deux points d'intersection d'abscisse x = 0 ; x = - 1
pour k = 2 vous déterminez à partir du graphe les abscisses des points d'intersections il y a 2 points d'intersection entre y = k et f(x)
pour k ≥ 1 ; on a toujours deux points d'intersection d'abscisse x1 et x2
x² + x + 1 = k ⇔ x² + x + (1 - k) = 0
Δ = 1 - 4(1 - k)
si Δ > ⇔ 1 - 4 + 4 k > 0 ⇒ 4 k - 3 > 0 ⇒ k > 3/4 ]3/4 ; + ∞[
on a deux solutions x1 et x2
x1 = - 1 + √4 k - 3)/2 et x2 = - 1 - √4 k - 3)/2
si Δ = 0 ⇔ 4 k - 3 = 0 ⇒ k = 3/4
on a une seule solution x1 = - 1/2
si Δ < 0 ⇔ 4 k - 3 < 0 ⇒ k < 3/4 pas de solutions
comment résout - on f(x) = k graphiquement
on trace la courbe f(x) = x² + x + 1 la courbe ne coupent pas l'axe des abscisses et elle passe par l'ordonnée 1 donc c'est une parabole tournée vers le haut
et on a y = k
pour k = 0 la droite y = k ne coupe pas la courbe de f(x)
pour k = 1 on a deux points d'intersection d'abscisse x = 0 ; x = - 1
pour k = 2 vous déterminez à partir du graphe les abscisses des points d'intersections il y a 2 points d'intersection entre y = k et f(x)
pour k ≥ 1 ; on a toujours deux points d'intersection d'abscisse x1 et x2
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