soit f la fonction définie sur R par : f(x) = (x - 2)² - 9
1) Sous quelle forme est donnée l'expression de la fonction f : forme canonique
Rappeler l'expression générale de cette forme et en donner les valeurs des paramètres dans le cas présent.
f(x) = a(x - α)² + β dans le cas présent : α = 2 ; β = - 9 et a = 1
2) Déterminer la forme développée de f(x)
f(x) = (x - 2)² - 9 = x² - 4 x + 4 - 9 = x² - 4 x - 5
3) Déterminer la forme factorisée de f(x)
f(x) = (x - 2)² - 9 = (x - 2 + 3)(x - 2 - 3) = (x + 1)(x - 5)
4) En utilisant la forme la mieux adaptée, répondre aux questions suivantes :
a) le point A(1/2 ; - 3/2) est - il un point de Cf Justifier par un calcul
f(x) = (x + 1)(x - 5) forme factorisée la mieux adaptée
- 3/2 = (1/2 + 1)(1/2 - 5) = 3/2 * (- 9)/2 = - 27/4
⇒ A(1/2 ; - 3/2) ∉ Cf
b) Déterminer les valeurs d'annulation de f
f(x) = 0 = (x + 1)(x - 5) ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 ou x - 5 = 0 ⇒ x = 5
c) Dresser le tableau de signe de f
x - ∞ - 1 5 + ∞
x + 1 - 0 + +
x - 5 - - 0 +
f(x) + 0 - 0 +
d) calculer les images de 2 et √2
f(x) = x² - 4 x - 5
f(2) = 2² - 4*2 - 5 = 4 - 8 - 5 = 4 - 13 = - 9
f(√2) = (√2)² - 4√2 - 5 = 4 - 4√2 - 5 = - 1 - 4√2 = - (1 + 4√2)
e) Quelles sont les antécédents de - 5
f(x) = - 5 = x² - 4 x - 5 ⇔ x² - 4 x = 0 ⇔ x(x - 4) = 0 ⇒ x = 0 ou x - 4 = 0
⇒ x = 4
f) Résoudre l'équation f(x) = - 9
f(x) = (x - 2)² - 9 = - 9 ⇔ (x - 2)² = 0 ⇒ x - 2 = 0 ⇒ x = 2
g) Dresser le tableau de variation de la fonction f
f(x) = x² - 4 x - 5
f '(x) = 2 x - 4 ⇒ f ' (x) = 0 = 2(x - 2) = 0 ⇒ x = 2
f(2) = - 9
x - ∞ 2 + ∞
f(x) + ∞ →→→→ - 9→→→→ + ∞
décroissante croissante
h) quelles sont les coordonnées du sommet S de la parabole
S(2 ; - 9)
nous pouvons les déterminer à partir de la forme canonique
S(α ; β) = (2 ; - 9)
i) Dans un repère orthonormé, quel est l'axe de symétrie de la parabole
c'est l'axe passant par le sommet S d'abscisse x = 2 et parallèle à l'axe des ordonnées
EXN°2
1) soit f(x) = x² - 8 x + 7
a) Montrer que la forme canonique de la fonction f est f(x) = (x - 4)² - 9
La forme canonique est de la forme f(x) = a(x - α)² + β
avec α = - b/2 a et β = f(α)
α = 8/2 = 4
f(4) = β = 4² - 8 * 4 + 7 = 16 + 7 - 32 = 23 - 32 = - 9
f(x) = (x - 4)² - 9
b) en déduire la forme factorisée de f
f(x) = (x - 4)² - 9 = (x - 4)² - 3² identité remarquable
= (x - 4 + 3)(x - 4 - 3)
= (x - 1)(x - 7)
2) f(x) = 4 x² - 8 x - 12
a) Déterminer la forme canonique de f
f(x) = a(x - α)² + β
α = - b/2 a = 8/8 = 1
f(1) = β = 4 - 8 - 12 = - 16
La forme canonique est f(x) = 4(x - 1)² - 16
b) factoriser f(x) = 4[(x - 1)² - 2²] = 4(x - 1 + 2)(x - 1 - 2)
= 4(x +1)(x - 3)
