Bonjour,
Soit la fonction f définie sur R telle que:
f(x)=0.15x^5-2x³+12x+200
1)a) La fonction f est polynôme du 5ème degrés qui est dérivable sur R et on nomme f' sa dérivée:
f'(x)=(0.15x^5-2x³+12+200)'
f'(x)=5×0.15x^4-3×2x²+12
f'(x)=0.75x^4-6x²+12
b) f' est une fonction polynôme du 4ème degrés dérivable sur R et on nomme f'' sa dérivée:
f''(x)=(0.75x^4-6x²+12)'
f''(x)=4×0.75x³-2×6x
f''(x)=3x³-12x
f''(x)=3x(x²-4)
f''(x)=3x(x-4)(x+4)
2)a) Voir pièce jointe
b) La lecture du tableau de variation montre que f'(x) atteint des minimum en x=-4 et x=4, par calcul algébrique, on a:
f(-4)=f(4)=108.
On en déduis que ∀x∈R alors f'(x)≥108 donc f' est strictement positif sur R. On conclus alors que f est strictement croissante sur R
3) Par 1)a), on sait que f' es donnée par:
f'(x)=0.75x^4-6x²+12
On pose X=x², on peut alors écrire:
f'(x)=0.75X²-6X+12
Δ=b²-4ac=(-6)²-4(0.75)(12)=36-36=0
on a donc une racine double: X=-b/2a=6/(2*0.75)=6/1.5=4
On peut donc écrire que:
f'(x)=0.75(X-4)
comme X=x² alors:
f'(x)=0.75(x²-4)
f'(x)=0.75(x+2)(x-2)
Tu réalises alors un tableau de signe (voir pièce jointe) et tu remarques que f'(x)≥0∀x∈R ce qui confirme le résultat déjà trouvé.
