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Bonjour, pouvez-vous m'aidez sur mon dm de math svp?

1) On appelle f la fonction définie sur R par f(x)= ax au cube+ bx au carré+ cx+d , a,b,c,d étant quatre constantes réelles que l'on déterminera en utlisant les conditions suivantes (on appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal (O,i,j), on ne cherchera pas à tracer C).
a) C passe par O et admet en ce point une tangente de coeffcient directeur -6.
b) La dérivée de f s'annule f s'annule pour les valeurs -1 et 3.

On pourra admettre pour la suite que l'on a f(x)= 2/3x au cube-2x au carré-6x.

2) Donner une équation de la tangente T à C en O. Préciser la position de C par rapport à T.
3) Etudier les variations de f.
4) Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x. En déduire l'étude des variations de la fonction g définie sur R par g(x)= x^4-2x^3-18x^2(on ne calculera pas les valeurs des extremums).
Merci de répondre àmes questions Bonne journée.

Sagot :

ProfdeMaths1
f(x)=ax³+bx²+cx+d

1)a) Cf passe par O(0;0) donc f(0)=0 donc d=0
donc f(x)=ax³+bx²+cx

b) f'(0)=-6 or f'(x)=3ax²+2bx+c donc c=-6
donc f(x)=ax³+bx²-6x

c) f'(-1)=f'(3)=0
3a-2b-6=0 et 27a+6b-6=0
donc 3a-2b=6 et 9a+2b=2
donc 12a=8 soit a=2/3 et b=-2
donc f(x)=2/3x³-2x²-6x

2)a) tangente en O :
(T):y=f'(0)(x-0)+f(0)
f'(0)=-6 et f(0)=0
donc (T) : y=-6x

b) Cf est en-dessous de (T) sur ]-∞;0]
Cf est au-dessus de (T) sur [0;+∞[

c) f'(x)=0 donne x=-1 ou x=3
f'(x)>0 donne x<-1 ou x>3
donc f est croissante sur ]-∞;-1] et sur [3;+∞[
et f est décroissante sur [-1;3]

d) signe de f(x) :
f(x)=2/3x³-2x²-6x)=(x)(x-α)(x-β)
avec α≈-1,854 et β≈4,854
donc f est négative sur ]-∞;α] et sur [0;β]
et f est positive sur [α;0] et sur [β;+∞[

or g'(x)=f(x)----> à vérifier par le lecteur...
donc g est décroissante sur ]-∞;α] et sur [0;β]
et g est croissante sur [α;0] et sur [β;+∞[
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