Bonjour,
Partie A
1) lim quand x → 0 ln(1 - x)/x
en posant X = -x, soit x = -X :
= lim quand X → 0 -ln(1 + X)/X
= lim quand X → 0 -[ln(1 + X) - ln(1)]/X (car ln(1) = 0)
On retrouve ainsi la forme [f(1) - f(1+h)]h, qui est le taux d'accroissement de la fonction f(x) = ln(x) en x = 1)
Donc, par définition du nombre dérivé :
= -f'(1)
= -1
2) lim quand x → 0⁺ xln(x)
en posant X = 1/x soit x = 1/X :
= lim quand X → +∞ ln(1/X)/X
= ................................ -ln(X)/X (car ln(1/X) = -ln(X)
= 0 car lim ln(x)/x quand x → +∞ = 0 (théorème croissances comparées)
3) f(0) = 0 et quand x ∈ ]0;1[, lim quand x → 0⁺ f(x) = 0
Donc f est continue en 0
4) Pour x ∈ ]0;1[, f'(x) = 1/x * ln(1 - x) - ln(x) * (-1/(1 - x))
= ln(1 - x)/x + ln(x)/(1 - x)
lim f'(x) quand x → 0⁺
= lim ln(1 - x)/x + lim ln(x)/(1 - x)
= -1 + lim ln(x)/1
= -∞
donc f n'est pas dérivable en 0.
Partie B
En posant t = 1 - x, soit x = 1 - t
f(1 - t) = ln(1 - t) * ln(t)
lim quand x → 1⁻ f'(x)
= lim quand t → 0⁺ f(t)
= -∞ d'après la partie A 4)
Donc f n'est pas dérivable en 1
