Bonjour,
1) f(x+1) = [(x+1) - E(x+1)]sin²[(x+1)π]
= [x + 1 - (E(x) + 1)]sin²(πx + π)
= [x - E(x)] * (-sin(πx)) * (-sin(-πx))
= [x - E(x)] * sin²(πx)
= f(x)
⇒ f périodique de période 1
2) Pour tout x ∈ R-Z, et donc pour chaque intervalle du type ]k ; k+1[ avec k ∈ Z,
les fonctions x, E(x) et sin²(πx) sont continues et dérivables.
Donc f est dérivable sur R-Z
f'(x) = (1 - 0)sin²(πx) + [x - E(x)] * 2cos(x)sin(x)
= sin(πx) * [sin(πx) + 2(x - E(x))]
3) Pour tout p ∈ Z, sin²(pπ) = 0 ⇒ f(p) = 0
⇒ T = [f(x) - f(p)]/(x - p) = [(x - E(x)]sin²(πx)/(x - p)
Donc lim de ce taux d'accroissement T quand x → p
= lim [x - E(x)]sin²(πx)/(x - p)
Si p ≥ 0 et x → p+ ⇒ E(x) → p + 1⇒ x - E(x) → x - p - 1
⇒ lim T = lim (x - p - 1)sin²(πx)/(x - p) = 0
Si p ≥ 0 et x → p- ⇒ E(x) → p ⇒ x - E(x) → x - p
⇒ lim T = lim sin²(πx) = 0
Idem si p < 0...
Donc pour tout p ∈ Z, f'(p) = 0
⇒ tangentes horizontales
4)a)
x ∈ [0;1] ⇒ E(x) = 0
⇒ f(x) = xsin²(πx)
b) ci-joint sous geogebra...
en bleu E(x)
en gris x - E(x)
et en rouge f(x)
