1) Montrer que AC = 3 x et que AB = x²/2
⇒ (MN) // (BC) ⇒ Application du théorème de Thalès
AN/AC = MN/BC ⇒ AC = AN * BC/MN = (6 * 2 x)/4 = 3 x
AM/AB = MN/BC ⇒ AB = AM * BC/MN = (x * 2 x) /4 = x²/2
2) soit I un point de (AM) tel que (CM) // (IN)
a) montrer que AM/AI = x/2
AI/AM = AN/AC ⇔ AM * AN = AI * AC ⇒ AM = AI * AC/AN ⇒ AM/AI = AC/AN
⇒ AM/AI = 3 x/6 = x/2
AM/AB = AN/AC ⇔ AB * AN = AM * AC ⇒ AB = AM * AC/AN
⇒ AB/AM = AC/AN = 3 x/6 = x/2
b) En déduire que AM² = AI * AB
puisque AM/AI = x/2 et AB/AM = x/2
⇒ AM/AI = AB/AM ⇔ AM x AM = AI * AB
⇒ AM² = AI * AB
3) on suppose dans cette question que le triangle ABC est rectangle en B
et que (MN)//(BC)
Déterminer x pour que AMN soit un triangle rectangle
⇒ Réciproque du théorème de Pythagore
AM² + MN² = x² + 16 = 36 ⇔ x² + 16 - 36 = 0 ⇔ x² - 20 ⇒ x = √20 = 2√5
La valeur x = - √20 n'est pas admise dans ce cas
