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Sagot :
tout se passe comme si on avait un antivol de vélo avec les chiffres de zéro à 9 ( soit 1o chiffres ) et une combinaison à 4 chiffres . Le voleur doit trouver la combinaison pour ouvrir l' antivol . Il devra donc faire des essais en partant de 0000 ... et en allant jusqu' à 9999 s' il n' a pas de chance ! Il y a donc 10 000 combinaisons possibles !
réfléchissons aux combinaisons du type AAAx par exemple
( avec x différent de A ) :
1o x 1² x 9 x 4 = 360 --> pourcentage = 3,6 %
combinaisons du type AAAA par ex :
1o x 1³ = 10 --> pourcentage = 0,1 %
d' où le TOTAL : 3,6 % + 0,1 % = 3,7 %
2°) évènement contraire
= chaque suspect est désigné au maximum une fois (voire pas du tout !)
3a) le premier témoin a 1o possibilités, le second témoin a seulement 9 possibilités, le troisième a seulement 8 possibilités, le dernier témoin a seulement 7 possibilités . Nb d' issues possibles = 5o4o issues ! 5o4o issues sur 10ooo donne 5o,4 % .
3b) proba(A barre) = 0,5o4
4°) p(A) = 1 - 0,5o4 = 0,496 = 49,6 %
conclusion : proba d' être désigné deux fois exactement comme "coupable" est de 49,6 % - 3,7 % = 45,9 % .
On comprend bien qu' il ne suffit pas d' être désigné deux fois exactement pour aller en prison . Il faudrait au moins être désigné trois fois pour mériter un jugement !
Anniversaire :
évènement contraire =
toutes les 4 personnes sont nées à des dates différentes
p(A barre) = N/D ?
N = 365 x 364 x 363 x 362 = 1,74586 x 1o∧1o
D = 365∧4 = 1,77489 x 1o∧1o
donc p(A barre) = 0,983644 --> 98,4 % environ
d' où p(A) = 1 - 0,984 = 0,o16 = 1,6 % environ
2°) faisons le même travail pour 5 ou 6 personnes :
nb personnes 5 6 7 8 9
p(A barre) 0,973 0,962 0,946 0,926 0,9o5
p(A) 0,o27 0,o38 0,o54 0,o74 0,o95
logique : plus on a de personnes devant soi, plus on a de chances d' avoir deux personnes ( ou plus ) nées le même jour !
3°) on veut p(A) > 0,5 . Or p(A) est une suite géométrique
de terme initial V5 = 0,o27 et de raison "q" = 1,37 environ,
donc on veut :
0,o27 x 1,37∧(n-5) > 0,5
1,37∧(n-5) > 18,52
n-5 > Ln 18,52 / Ln 1,37
n-5 > 9,3
n > 14,3
retenons n = 15 personnes, et vérifions :
0,o27 x 1,37∧1o = 0,63 > 0,5
( 0,o27 x 1,37∧9 = 0,46 < 0,5 )
conclusion : il faut bien 15 personnes pour espérer avoir 2 personnes avec la même date de naissance !
je ne trouve pas ce résultat bon, mais je le propose en attendant la critique !
réfléchissons aux combinaisons du type AAAx par exemple
( avec x différent de A ) :
1o x 1² x 9 x 4 = 360 --> pourcentage = 3,6 %
combinaisons du type AAAA par ex :
1o x 1³ = 10 --> pourcentage = 0,1 %
d' où le TOTAL : 3,6 % + 0,1 % = 3,7 %
2°) évènement contraire
= chaque suspect est désigné au maximum une fois (voire pas du tout !)
3a) le premier témoin a 1o possibilités, le second témoin a seulement 9 possibilités, le troisième a seulement 8 possibilités, le dernier témoin a seulement 7 possibilités . Nb d' issues possibles = 5o4o issues ! 5o4o issues sur 10ooo donne 5o,4 % .
3b) proba(A barre) = 0,5o4
4°) p(A) = 1 - 0,5o4 = 0,496 = 49,6 %
conclusion : proba d' être désigné deux fois exactement comme "coupable" est de 49,6 % - 3,7 % = 45,9 % .
On comprend bien qu' il ne suffit pas d' être désigné deux fois exactement pour aller en prison . Il faudrait au moins être désigné trois fois pour mériter un jugement !
Anniversaire :
évènement contraire =
toutes les 4 personnes sont nées à des dates différentes
p(A barre) = N/D ?
N = 365 x 364 x 363 x 362 = 1,74586 x 1o∧1o
D = 365∧4 = 1,77489 x 1o∧1o
donc p(A barre) = 0,983644 --> 98,4 % environ
d' où p(A) = 1 - 0,984 = 0,o16 = 1,6 % environ
2°) faisons le même travail pour 5 ou 6 personnes :
nb personnes 5 6 7 8 9
p(A barre) 0,973 0,962 0,946 0,926 0,9o5
p(A) 0,o27 0,o38 0,o54 0,o74 0,o95
logique : plus on a de personnes devant soi, plus on a de chances d' avoir deux personnes ( ou plus ) nées le même jour !
3°) on veut p(A) > 0,5 . Or p(A) est une suite géométrique
de terme initial V5 = 0,o27 et de raison "q" = 1,37 environ,
donc on veut :
0,o27 x 1,37∧(n-5) > 0,5
1,37∧(n-5) > 18,52
n-5 > Ln 18,52 / Ln 1,37
n-5 > 9,3
n > 14,3
retenons n = 15 personnes, et vérifions :
0,o27 x 1,37∧1o = 0,63 > 0,5
( 0,o27 x 1,37∧9 = 0,46 < 0,5 )
conclusion : il faut bien 15 personnes pour espérer avoir 2 personnes avec la même date de naissance !
je ne trouve pas ce résultat bon, mais je le propose en attendant la critique !
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