1) a) f(x,y)=x²y/(x^4-2x²y+3y²)
on pose y=kx avec k≠0
f(x,kx)=kx³/(x^4-2kx³+3k²x²)
=kx/(x²-2kx+3k²)
si x→0 alors x²-2kx+3k²→3k² donc f(x,kx)→0
donc lim(f(x,y),x→0,y→0)=0
b) f(x,y)=x.ln(1+x³)/(y(x²+y²))
on pose y=kx avec k≠0
f(x,kx)=x.ln(1+x³)/(kx³+k³x³)
=1/k.ln(1+x³)/(x²+k²x²)
=1/(k(1+k²)).ln(1+x³)/x²
or lim(ln(1+x³)/x²,x→0)=0
donc lim(f(x,y),x→0,y→0)=0
c) f(x,y)=x.e^(x/y)
on pose y=kx avec k≠0
f(x,kx)=x.e^(1/k)
donc lim(f(x,y),x→0,y→0)=0
2) f(x,y)=y².sin(x/y) si (x,y)≠(0,0) et f(x,0)=0
a) on pose y=kx avec k≠0
f(x,kx)=k²x².sin(1/k)
donc lim(f(x,y),x→0,y→0)=0
donc lim(f(x,y),x→0,y→0)=f(0,0)
donc f est continue en (0,0)
b) étude des dérivées partielles de f :
d/dx.f(x,y)=y².1/y.cos(x/y)=y.cos(x/y)
d/dy.f(x,y)=2y.sin(x/y)+y².(-1/y²).cos(x/y)=(2y-1).cos(x/y)
on déduit :
d²/dxdy.f(x,y)=cos(x/y)+1/y².sin(x/y)
d²/dydx.f(x,y)=(2y-1).(-1/y).sin(x/y)
on vérifie alors que : d²/dxdy.f(x,y) ≠ d²/dydx.f(x,y)
