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Bonjour je bloque complètement sur cet exo !
1. Les quadrilatères ABCD et BEFG sont des carrés de côtés respectifs a et b.
Démontrer que (AG) ⊥ (CE) .
2. Les quadrilatères ABCD et BEFG sont maintenant des rectangles de dimensions :
►  pour ABCD : longueur AB = L1 et largeur l1
►  pour BEFG : longueur EF = L2 et largeur l2
Déterminer une égalité liant L1, l1, L2, l2 équivalente à (AG) ⊥ (CE) . (On cherche donc une condition nécessaire et suffisante à l’orthogonalité des 2 droites)

Bonjour Je Bloque Complètement Sur Cet Exo 1 Les Quadrilatères ABCD Et BEFG Sont Des Carrés De Côtés Respectifs A Et B Démontrer Que AG CE 2 Les Quadrilatères A class=

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

on se donne un repère (A;i,j) avec i = k x AB, j = k x AD et ||i|| = ||j|| = 1

Dans ce repère :

A(0;0) B(a;0) C(a;a) D(0;a)

E(a+b); 0) F(a+b;b) et G(a;b)

Soit I = (AG)∩(CE)

Produit scalaire AG.CE = ||AG|| x ||CE|| x cos(AIE)

||AG|| = √(a² + b²)

||CE|| = √[a² + b²]

Or AG.CE = (AB + BG).(CB + BE)

= AB.CB + AB.BE + BG.CB + BG.BE

= 0 + ab - ab + 0  car ||AB|| = [[CB|| = a, ||BE|| = ||BG|| = b, (AB;BE) = 0 et (BG;CB) = π

= 0

Donc cos(AIE) = 0 ⇒ (AIE) = π/2 ⇒ (AI)⊥(IE) ⇔ (AG)⊥(CE)

2) Même démarche avec : AB = L1 et EF = L2

A(0;0) B(L1;0) C(L1;l1) D(0;l1)

E(L1 + l2; 0) F(L1 + l2; L2) et G(L1;L2)

AG.CE = √(L1² + L2²) x √(l1² + l2²) x cos(AIE)

Or AG.CE = AB.CB + AB.BE + BG.CB + BG.BE

= 0 + L1l2 - L2l1 + 0

= L1l2 - L2l1

Donc cos(AIE) = (L1l2 - L2l1)/[√(L1² + L2²) x √(l1² + l2²)]

On veut cos(AIE) = cos(π/2) = 0

Donc il faut : L1l2 - L2l1 = 0
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