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Bonjour pouvez vous m'aider svp ?
1) démontrer par récurrence que la suite (Un) définie par Un+1 =
[tex] \sqrt{un + 6} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: u0 = 0[/tex]
Est croissante.

2) démontrer par récurrence que pour la suite définie par
[tex]un + 1 = \sqrt{0.5(un) {}^{2} + 8 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ u0 = 0[/tex]
[tex]0 \leqslant un \leqslant un + 1 \leqslant 8[/tex]
Merci d'avance

Sagot :

ProfdeMaths1
1) soit Pn:"∀n∈IN, u(n+1)>u(n)"
Initialisation :
u(0)=0, u(1)=√6 donc u(1)>u(0) donc P0 est vraie
Hérédité :
supposons qu'il existe un entier n tel que Pn soit vraie
donc u(n+1)>u(n)
donc  u(n+1)+6>u(n)+6
donc √(u(n+1)+6)>√(u(n)+6)
donc u(n+2)>u(n+1)
donc Pn+1 est vraie
Conclusion :
la suite (u) est croissante

2) soit Pn:"∀n∈IN, u(n+1)>u(n)"
Initialisation :
u(0)=0, u(1)=√8 donc u(1)>u(0) donc P0 est vraie
Hérédité :
supposons qu'il existe un entier n tel que Pn soit vraie
donc u(n+1)>u(n)
donc u²(n+1)>u²(n) car les termes sont positifs
donc 0,5u²(n+1)>0,5u²(n)
donc 0,5u²(n+1)+8>0,5u²(n)+8
donc √( 0,5u²(n+1)+8)>√(0,5u²(n)+8)
donc u(n+2)>u(n+1)
donc Pn+1 est vraie
Conclusion :
la suite (u) est croissante
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