exo 1 :
1°) triangle rectangle isocèle d' hypoténuse BC = 1
AB = AC = √2 / 2 ≈ 0,7o7
angles : â = 9o° ; les deux autres angles = 45°
2°) EFG équilatéral avec EF = FG = GE = 1 ; 3 angles égaux à 6o°
calcul de GI par Pythagore : GI² + 0,5² = 1² donne GI² = 0,75
GI = √3 / 2 ≈ 0,866
IE = IF = 0,5 puisque I = milieu [ EF ]
remarque : angles dans le triangle GIF = 3o° ; 6o° ; et 9o°
3°) 1 / √2 = 1*√2/√2*√2 = √2 / 2
4°) prendre 6 carreaux pour représenter "π" permettra de placer "-5π/6"
à 5 carreaux à gauche du zéro .
5°) Périmètre TOTAL du cercle de Rayon 1 = 2π ≈ 6,2832
Longueur de l' arc AB = 2πâ/36o° = πâ/18o avec "â" en degrés
tableau :
â 3o° 45° 6o° 75° 9o° 12o° 135° 15o°
â π/6 π/3 π/2
arc AB 0,52 0,79 1,o5 1,31 1,57 2,o9 2,36 2,62
exo 2 :
1°) nombres parfaits = 6 ; 28 ; 496 ; ... ( ils ont quand même rares ! )
vérif : 1 + 2 + 3 = 6 ; 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 ; ...
La Somme des diviseurs d' un nb parfait est égale à ce nombre parfait !
exemple de nb NON-parfait : 12 car 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 ≠ 12
2°) comme tous les nb parfaits sont pairs, il ne peut y avoir de nb parfait
PREMIER ( tous les nb premiers sont impairs - à part "2" ) .
3°) 2∧(p-1)*(2∧p -1) est "parfait" si p et 2∧p - 1 sont premiers
Il s' agit de la Formule d' Euclide !
choisissons p = 5 --> (2∧4) * (2∧5 - 1) = 16 * 31 = 496 est bien parfait !
vérif : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
algorithme :
choisir p entier positif premier ( p = 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; ... )
calculer N = 2∧p - 1
vérifier que N est bien premier
si N est bien premier, calculer Q = 2∧(p-1)
calculer N * Q
noter P = N * Q comme nb PARFAIT
exemple avec p = 7 --> N = 2∧7 - 1 = 128 - 1 = 127 qui est premier !
--> Q = 2∧6 = 64
--> P = N * Q = 127 * 64 = 8128 qui est parfait !
exemple avec p = 11 --> N = 2o47 qui n' est pas premier car 2o47 = 23 * 89
exemple avec p = 13 --> N = 8191
--> Q = 4o96
--> P = N * Q = 3355o336
exemple avec p = 17 --> N = 131o71
--> Q = 65536
--> P = N * Q = 8589869o56
