Bonjour,
1)
C, M et A sont alignés,
C, N et B sont alignés dans le même ordre,
et les droites (MN) et (AB) sont parallèles.
Donc d'après le théorème de Thalès :
CM/CA = CN/CB = MN/AB
Or CM = CA - AM = 4 - x
Donc :
(4 - x)/4 = CN/CB = MN/3
On en déduit : MN = 3(4 - x)/4
⇔ MN = 3 - 3x/4 = 3 - 0,75x
A(x) = A(AMNP) = AM x MN = x(3 - 0,75x)
2) A : x → A(x)
A(x) = 3x - 0,75x²
⇔ A(x) = -0,75(x² - 4x)
⇔ A(x) = -0,75[(x - 2)² - 4] forme canonique
On en déduit le tableau de variations de A(x) :
x -∞ 2 +∞
A(x) croissante décroissante
Le maximum est atteint pour x = 2 et A(2) = 3
Le point M tel que AM = 2 est alors le milieu de [AC] et l'aire de AMNP vaut 3 m²
