Bonjour,
Un+1 = 3Un/4 + 2 et U₀ = 12
A)
1) a)
U₀ = 12 donc U₀ ≥ 8
Supposons qu'au rang n, Un ≥ 8
Au rang (n+1) : 3Un/4 + 2 ≥ 3x8/4 + 2
⇔ Un+1 ≥ 8
Donc la propriété est héréditaire
⇒ Pour tout n ∈ N, Un ≥ 8
b) U₀ = 12
U₁ = 3x12/4 + 2 = 11
Donc au rang 0, U₁ ≤ U₀
On suppose qu'au rang n : U+1 ≤ Un
Au rang (n + 1) :
Un+2 = 3Un+1/4 + 2
⇒ Un+2/Un+1 = 3/4 + 2/Un+1
Or Un+1 ≥ 8.
Donc 2/Un+1 ≤ 2/8 ⇔ 2/Un+1 ≤ 1/4
⇒ Un+2/Un+1 ≤ 3/4 + 1/4
⇔ Un+2/Un+1 ≤ 1
⇔ Un+2 ≤ Un+1
⇒ propriété héréditaire ...
2) (Un) est donc décroissante et minorée par 8 ⇒ (Un) est convergente
B)
1) Vn = Un - l
en supposant l = 8 : Vn = Un - 8
⇒ Vn+1 = Un+1 - l
= 3Un/4 + 2 - 8
= 3Un/4 - 6
= (3Un - 24)/4
= 3(Un - 8)/4
= 3Vn/4
⇒ (Vn) suite géo de raison q = 3/4 et de premier terme V₀ = U₀ - 8 = 4
2) On en déduit : Vn = 4 x (3/4)ⁿ
donc Un = Vn + 8 = 4 x (3/4)ⁿ + 8
3) lim Un = lim [4 x (3/4)ⁿ + 8] = 8 car lim (3/4)ⁿ = 0
