Bonsoir !
Partie A
1. Tu sais que la première question a été répondue correctement, puis la deuxième n'a pas été répondue. La note de Quentin à ce stade-là est donc de 1 point. Je te conseille de dessiner un arbre avec à chaque fois deux branches (car Quentin répond aux deux dernières questions), une branche pour "Quentin répond correctement" et l'autre pour "Quentin choisit la mauvaise réponse". Afin de pondérer l'arbre avec des probabilités, tu sais que Quentin répond au hasard de façon équiprobable. Chaque branche a donc [tex]\frac{1}{4}[/tex] comme probabilité.
2. Tu devrais arriver à 4 issues à la fin de ton arbre, et il est assez facile dans chacun des cas de chercher la note que Quentin reçoit.
3. Normalement, tu devrais avoir une issue à ton arbre qui correspond à Quentin ayant répondu juste aux 3 questions auxquelles il a répondu. En multipliant les probabilités des branches tu retrouves la probabilité de [tex]\frac{1}{16}[/tex] que Quentin ne fasse aucune faute (hormis la question 2 à laquelle il n'a pas répondu, bien sûr).
4. De la même manière que pour la question 3, tu devrais avoir une seule issue correspondant à Quentin ayant fait 2 fautes, la probabilité est donc de [tex]\frac{3}{4} * \frac{3}{4} = \frac{9}{16}[/tex].
5. La loi de probabilité correspond à un tableau dans lequel tu vas renseigner les différentes issues possibles, c'est-à-dire le nombre de fautes que Quentin peut faire (0, 1 ou 2) et assigner à chacune de ces issues une probabilité qui correspond à la probabilité que Quentin fasse ce nombre de fautes.
Tu auras donc en dessous de 0 la probabilité calculée à la question 3, en dessous de 2 la probabilité calculée à la question 4 et en dessous de 1 le reste, ici [tex]1 - \frac{1}{16} - \frac{9}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}[/tex] (n'hésite pas à réfléchir à ce résultat).
L'espérance mathématique est simplement la somme des issues multipliées par les probabilités, tu as donc ici :
[tex]E(x) = \frac{1}{16} * 0 + \frac{3}{8} * 1 + \frac{9}{16} * 2 = \frac{3}{2} = 1.5[/tex]
Ainsi, Quentin peut espérer avoir 1.5/4 au QCM (il peut avoir plus ou moins, mais s'il fait le QCM un grand nombre de fois il aura en moyenne 1.5/4).
Partie B
Je te laisse réutiliser les méthodes utilisées dans la Partie A pour répondre à ce problème.
Partie C
Marion aura forcément 1/4 car elle n'a répondu qu'à la première question, et ce correctement. Donc si [tex]Z[/tex] correspond à la variable aléatoire comptant le nombre de points de Marion à la fin du QCM, [tex]E(Z) = 1[/tex].
Il ne te reste plus qu'à comparer [tex]E(X)[/tex], [tex]E(Y)[/tex] et [tex]E(Z)=1[/tex] pour conclure laquelle des trois est la meilleure stratégie.
