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Delpelitto
Answered

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Bonjours à tous j'aurais besoin d'aide pour ce dm ma foi ...difficile
On considère une boîte de conserve de forme cylindrique.
Pour un volume V donné, on souhaite minimiser la quantité de métal utilisé pour confectionner cette boîte.
On note r le rayon de la base et h la hauteur.
(Je peux pas mettre l'image mais c'est juste un cylindre sans valeur.)

1) démontrer que la surface de métal utilisé est :
S (r)= 2pir(carré) +2V/r

2) Étudier la fonction S sur son ensemble de définition , que l'on précisera.

3) En déduire les dimensions de la boîte répondant aux problèmes.

4) application numérique : tester les dimensions d'une boîte cylindrique choisie dans le placard dont le volume est donné (en mL ou cm3)

Sagot :

Croisierfamily
enfantin !

Volume Cylindre = π R² h --> V / R = π R h --> 2V / R = 2 π R h

Aire "fond + couvercle" = 2 π R²
Aire "étiquette de la boîte de conserve" = 2 π R h

donc : Aire TOTALE du métal nécessaire = 2 π R² + 2 π R h
                                                                   = 2 π R ( R + h )
ou Aire TOTALE = 2 π R² + 2V/R

étude de S(R) = 2πR² + 2V/R :

ensemble de définition = IR+*
car le Rayon est positif et doit être non-nul !

dérivée S ' (R) = 4πR - 2V/R² nulle pour 2πR = V/R²
                                                                   R³ = V / 2π
                                                                    R = ∛(V / 2π)

conclusion : le minimum de métal sera obtenu pour R ≈ 0,541926 ∛V

application à la mini-canette de soda de 25 cL = 25o mL = 25o cm³ :
R ≈ 0,541926 ∛25o ≈ 3,414 centimètres !
Vérifions :
Aire TOTALE ≈ 2π 3,414² + 5oo/3,414 = 73,233 + 146,456 ≈ 219,7 cm² 

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