Bonjour :)
1. La méthode la plus sécuritaire serait de construire un arbre avec 6 branches pour le premier dé, et après chaque branche, 6 sous-branches pour le deuxième dé, ce qui amène à 36 issues, ce qui risque de faire beaucoup.
On peut faire plus simplement qu'un arbre en donnant, pour chaque issue du premier dé, les issues qui nous intéressent pour le deuxième dé, c'est-à-dire celles pour lesquelles la différence est strictement inférieure à 3 :
1 : 1 2 3
2 : 1 2 3 4
3 : 1 2 3 4 5
4 : 2 3 4 5 6
5 : 3 4 5 6
6 : 4 5 6
On retrouve bien les 24 issues, et la probabilité, si les dés ne sont pas truqués, est bien 24/36 = 2/3.
2. Le joueur a donc une chance sur 3 de gagner la partie.
3. Sachant que la mise est de 5€, il suffit de calculer l'espérance de la variable aléatoire X qui représente l'argent gagné par le joueur :
[tex]E_n(X) = -5 * \dfrac{2}{3} + n * \dfrac{1}{3}[/tex]
Comme on veut déterminer le plus grand n tel que le casino soit avantagé, on veut déterminer le plus grand n pour que l'espérance du gain du joueur soit strictement négative :
[tex]E_n(X) < 0[/tex]
[tex]\dfrac{-10}{3} + \dfrac{n}{3} < 0[/tex]
[tex]\dfrac{n-10}{3} < 0[/tex]
[tex]n < 10[/tex]
Comme on est à l'euro près, la plus grande valeur de n est 9€.
4. On refait le même calcul mais avec m :
[tex]E_{n,m}(X) = -m * \dfrac{2}{3} + \dfrac{n}{3}[/tex]
[tex]E_{n,m}(X) < 0[/tex]
[tex]\dfrac{-2m}{3} + \dfrac{n}{3} < 0[/tex]
[tex]\dfrac{n-2m}{3} < 0[/tex]
[tex]n-2m < 0[/tex]
[tex]n < 2m[/tex]
À l'euro près, on a :
[tex]n = 2m-1[/tex].
