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Nulenmaths92
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Hello ! Je suis en 1ère et je galère pour un exercice de maths que je dois rendre à la rentrée , c'est sur les fonctions dérivées.
Calculer f'(x) lorsque la fonction f est définie sur I= ] -1 ; infini[ par f(x) = (2x+5)/(x+1)
1) A l'aide de la formule donnant la dérivée d'un quotient
2) En démontrant au préalable que f(x) = 2 + (3)/(x+1)

Merci d'avance à ceux qui m'aideront !

Sagot :

f(x) = (2 x + 5)/(x + 1)    définie sur I =]- 1 ; + ∞[

Calculer f '(x)

1) A l'aide de la formule donnant la dérivée d'un quotient

   (u/v) ' = (u ' x v - u x v ')/v²

 u = 2 x + 5 ⇒ u ' = 2

 v = x + 1 ⇒ v ' = 1

f '(x) = (u/v) ' = 2(x +1) - (2 x + 5)]/(x + 1)²

                    = 2 x + 2 - 2 x - 5)/(x + 1)²

                   = - 3/(x + 1)²

 f '(x) = - 3/(x + 1)²
 
 2) en démontrant au préalable que f(x) = 2 + (3)/(x + 1)

 f(x) =  (2 x + 5)/(x + 1)  peut s'écrire sous la forme f(x) = a + b/(x + 1)

 f(x) = a + b/(x + 1)

       (a(x + 1) + b)/(x+1) =  a x + (a + b)/(x + 1)

 ⇒ a x + (a + b) = 2 x + 5

 ⇒ a = 2  et  a + b = 5 ⇒ b = 5 - 2 = 3

 On trouve  f(x) = 2 + (3)/(x + 1)

 f '(x) = 0  - 3/(x + 1)² = - 3/(x + 1)²

 (k 1/v)' = - k x v '/v²  ⇒ f '(x) = - 3/(x + 1)²

 v = x + 1 ⇒ v ' = 1
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