EX3
Partie A
Etudier le sens de variation des suites suivantes:
a) pour tout entier naturel n ≥ 1 ; Un = 2 + 1/n
Un+1 = 2 + 1/n+1 = 2(n +1) + 1)/(n + 1) = (2 n + 3)/(n + 1)
Un = 2 + 1/n = (2 n + 1)/n
Un+1 - Un = (2 n + 3)/(n + 1) - (2 n + 1)/n = n(2 n + 3) - (2 n + 1)(n + 1)]/n(n +1)
⇒ 2 n² + 3 n - 2 n² - 3 n - 1)]/n(n + 1)
= - 1/n(n + 1)
on sait n > 0 et n + 1 > 0 ⇒ n(n + 1) > 0
donc Un+1 - Un < 0 alors la suite (Un) est décroissante sur [1 ; + ∞[
b) pour tout entier naturel n ≥ 1 Un = 2 n² - 3 n + 4
Soit f une fonction définie sur un intervalle [1 ; + ∞[ et (Un) la suite définie par Un = f(n)
si f est croissante sur [1 ; + ∞[ alors (Un) est croissante sur [1 ; + ∞[
soit f(x) = 2 x² - 3 x + 4 étudions les variations de f sur [1 ; + ∞[
f est dérivable sur [1 ; + ∞[ et f'(x) = 4 x - 3
comme x > 0 alors f '(x) > 0 sur [1 ; + ∞[ donc f est croissante sur [1 ; + ∞[
donc (Un) est croissante sur [1 ; + ∞[
