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on ce propos de déterminer parmi les rectangles d'aire 4 cm2 celui qui a le plus petit périmètre
On désigne par x la longueur d'un cote de ce rectangle et on note f la fonction qui à x associe le périmètre du rectangle
1)a) quel est l'ensemble de definition de f?
b) montrer que f(x) =2x +(8÷x)
2) soient a et b deux reels de l'intervalle ]0,+°°[ tels que a<b
a)montrer que
f(b)-f(a) = (2(b-a)(ab-4))÷ab
b)en déduire les variations de f sur chacun des intervalles ]0,2] et [2,+°°[
3) conclure


Sagot :

Bonjour,

1)a) Df = ]0;+∞[

b) x longueur du rectangle en cm

y largeur du rectangle en cm

On sait  xy = 4  (cm²) ⇒ y = 4/x

⇒ Périmètre : f(x) = 2(x + y) = 2(x + 4/x) = 2x + 8/x

2) f(b) - f(a)

= 2b + 8/b - 2a - 8/a

= 2(b - a) + 8(1/b - 1/a)

= 2(b - a) + 8(a - b)/ab

= 2(b -a) + 2(b - a)*(-4)/ab

= 2(b - a) * [1 - 4/ab]

= 2(b - a)(ab - 4)/ab

b) Sur ]0;2[, si a < b, alors :

. b - a > 0
. ab < 2x2 ⇒ ab - 4 < 0
. et ab > 0

donc f(b) - f(a) < 0 ⇔ f(b) < f(a) donc f est décroissante

Sur [2;+∞[, si a < b, alors :

. b - a > 0
. ab > 2x2 ⇒ ab - 4 > 0
. et ab > 0

donc f(b) - f(a) > 0 ⇔ f(b) > f(a) donc f est croissante

3) On en déduit :

x          0                         2                    +∞
f(x)          décroissante    croissante

Donc f est minimum pour x = 2

Le périmètre des rectangles d'aire égale à 4 cm² est minimale pour x = 2 

(et donc y = 2) : C'est donc un carré...
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