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bonjour pouvez vous m'aider à calculer la dérivée de cette fonction
f(x) =
[tex] \frac{ {e}^{ - x} }{2 - x} [/tex]

Sagot :

ProfdeMaths1
f(x)=exp(-x)/(2-x)
f'(x)=(-exp(-x).(2-x)-exp(-x).(-1))/(2-x)²
      =exp(-x).(-2+x+1)/(2-x)²
      =exp(-x).(x-1)/(x-2)²
Stiaen
Bonsoir,

Soit la fonction :   [tex]f(x)=\dfrac{e^{-x}}{2-x}[/tex]

1) Identification de la forme de la fonction :   [tex]\dfrac{u}{v}[/tex]

2) Identification de la formule de dérivation à utiliser :  [tex]\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}[/tex]

3) Identification de u, u',v et v" : 

[tex]u=e^{-x}\;;u'=-e^{-x};\\\\v=2-x;\;v'=-1[/tex]

4) Application :

[tex]f'(x)=\dfrac{-e^{-x}\times(2-x)-(-1)\times e^{-x}}{(2-x)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{-2e^{-x}+xe^{-x}+e^{-x}}{(2-x)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{-e^{-x}+\dfrac{1}{e^x}\times x}{(2-x)^2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{e^x}+\dfrac{x}{e^{x}}}{(2-x)^2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{\dfrac{-1+x}{e^x}}{(2-x)^2}\\\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=\dfrac{-1+x}{e^{x}(2-x)^2}}}}[/tex]
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