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Bonjour, voici ma question. Je n'y arrive pas, merci d'avance :
Au moment des soldes, un commerçant souhaite vendre à moitié prix un produit. Il décide de procéder en 2 étapes en effectuant deux baisses successives.

1) La première baisse est de 20%. Quel est le pourcentage de la deuxième baisse ?


2) De façon plus générale, on note x(0 < x < 1) le pourcentage de la 1ere baisse et y(0 < y < 1) celui de la deuxième baisse.

a) Démontrer que (1-x)(1-y)=1/2.
b) En déduire que y= 2x-1/2x-2.
c) Vérifier à l'aide de cette formule le résultat obtenu à la question 1.


3) Le commerçant souhaite appliquer deux fois le même pourcentage lors des deux baisses successives.

a) Déterminer algébriquement la valeur exacte de ce pourcentage.
b) Donner son arrondi au dixième.

Sagot :

Croisierfamily
prenons un Prix de départ de 1oo €uros .

- 2o % donne le nouveau prix de 8o €uros .

on veut obtenir à la fin le prix soldé de 5o €uros, donc il faut encore baisser le prix de 3o €uros !

second pourcentage de baisse cherché = 3o/8o = 0,375 = 37,5 %

résumons : Prix Initial * ( 1 - 0,2o ) * ( 1 - 0,375 ) = prix soldé à 5o %

2°) reprenons le résumé en remplaçant 0,2o par "x" et 0,375 par "y" :
                  Prix Initial * ( 1 - x ) * ( 1 - y ) = prix soldé
                                     ( 1 - x ) * ( 1 - y ) = prix soldé/Prix Initial
                                     ( 1 - x ) * ( 1 - y ) = 1/2
2b) développons : 1 - y - x + xy = 0,5
                                   y ( x - 1 ) = x - 0,5
                                               y = ( x - 0,5 ) / ( x - 1 )
                                               y = (2x-1)/(2x-2)
2c) recalculons "y" rapidement : y = (2*0,2-1)/(2*0,2-2) = -0,6/-1,6 = 0,375
                                                                                                         = 37,5 %
3°) on souhaite maintenant y = x , donc il faut résoudre :
      1 - t - t + t² = 0,5 avec "t" le taux cherché que l' on appliquera deux fois
       1 - 2t + t² = 0,5
    t² - 2t + 0,5 = 0
  ( t - 1 )² - 0,5 = 0
  ( t - 1 - √2/2 ) ( t - 1 + √2/2 ) = 0
     ( t - 1,7o71 ) ( t - 0,2929 ) ≈ 0
comme ce taux "t" est inférieur à 1 ( ou 1oo % ),
on retient seulement t ≈ 0,2929 soit 29,3 % environ

conclusion : valeur exacte de "t" = 0,5*(2-√2)
                     valeur arrondie t ≈ 29,3 %

vérification : t ≈ 29,3 % donne le coefficient 1 - 0,293 = 0,7o7
                     Prix Initial*0,7o7*0,7o7 = Prix Initial*0,7o7²
                                                           = Prix Initial*0,499849
avec Prix Initial = 1oo €uros, on trouve prix soldé ≈ 49,98 €uros qui est bien proche de la moitié du Prix Initial !
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