Bonjour,
exo 1 :
1) U(1)=200*(1+2/100)+200=200*1.02=204+200=404
U(2)=404*1.02+200=...
U(3)=...tu fais seul.
2)
D'après ce qui a été fait en 1) on a donc :
U(n+1)=U(n)*1.02+200
3)a)
V(0)=U(0)+10000=10200
V(1)=U(1)+10000=....
V(2)=U(2)+10000=...
V(n+1)=U(n+1)+10000
Mais U(n+1)=U(n)*1.02+200
Donc :
V(n+1)=U(n)*1.02+200+10000=U(n)*1.02+10200--->on met 1.02 en facteur.
V(n+1)=1.02[U(n)+10000] mais U(n)+10000=V(n) donc
V(n+1)=1.02*V(n)
qui prouve que V(n) est une suite géométrique de raison q=1.02 et de 1er terme V(0)=10200.
c) On sait que pour une suite géométrique :
V(n)=V(0)*q^n , ce qui donne ici :
V(n)=10200*1.02^n
Mais U(n)=V(n)-10000
Donc : U(n)=10200*1.02^n-10000
4)
On résout :
10200*1.02^n -10000 > 5000
1.02^n > 15000/10200
1.02^n > 50/34 ( j'ai simplifié par 300)
Je ne sais pas si tu as vu la fonction ln(x) ? Sinon tu tâtonnes .
Avec la fct ln(x) , on fait :
n > ln(50/34) / ln(1.02)
On trouve n ≥ 20.
Il doit attendre 20 ans.
Exo 2 :
1)
a) r1=40000*(1-5/100)+200=40000*0.95+200=38200
r2=38200*0.95+200=...
b) On réduit la quantité de l'année précédente de 5% donc on la multiplie par 1-5/100 soit 0.95 , quantité à laquelle il faut ajouter 200t de nouveaux déchets .
Donc r(n+1)=0.95*r(n)+200
2) a)
s(n+1)=r(n+1)-4000 mais r(n+1)=0.95*r(n)+200 donc :
s(n+1)=0.95*r(n)+200-4000=0.95*r(n)-3800--->on met 0.95 en facteur.
s(n+1)=0.95[r(n)-40000]
s(n+1)=0.95*s(n)
qui prouve que s(n) est une suite géométrique de raison q=0.95 et de 1er terme s(0)=r(0)-4000=36000
b) On a donc : s(n)=s(0)*q^n
S(n)=36000*0.95^n
Mais r(n)=s(n)+4000
Dons : r(n)=36000*0.95^n+4000
c)
r(n+1)-r(n)=36000*0.95^(n+1)+4000-(36000*0.95^n+4000)
r(n+1)-r(n)=36000*0.95^(n+1)-36000*0.95^n
r(n+1)-r(n)=36000*0.95^n*0.95 -36000*0.95^n
r(n+1)-r(n)=36000*0.95^n*(0.95-1)-->0.95-1=-0.05
r(n+1)-r(n)=-36000*0.05*0.95^n
r(n+1)-r(n)= - 1800*0.95^n
Le facteur 0.95^n est > 0 donc le produit : -1800*0.95^n est < 0.
Donc :
r(n+1)-r(n) < 0
Donc :
r(n+1) < r(n).
Tu conclus.
d) Oui car la suite r(n) est ....
e) En 2015 : n=4.
Tu calcules r(4) avec la formule du 2)b).
3)
J'ai trouvé n ≥ 7 donc en 2018.
