Bonjour,
Ex 1
3)i)
f(x) = 3 - 5x + 2/(x - 1)
somme d'une fonction affine (3 - 5x) et d'une fonction rationnelle (2/(x - 1) définie sur Df, donc f est dérivable dur Df
f'(x) = -5 - 2/(x - 1)²
ii) f'(x) = [-5(x - 1)² - 2]/(x - 1)² = (-5x² + 10x - 7)/(x - 1)²
Δ du numérateur : Δ = 10² - 4x(-5)x(-7) = 100 - 140 < 0
donc pas de racine ⇒ f'(x) < 0 sur Df ⇒ f décroissante
iii) f(x) = g(x) + h(x)
avec g(x) = 3 - 5x donc décroissante sur Df
et h(x) = 2/(x - 1), décroissante sur I = ]1;+∞[
donc f somme de 2 fonctions décroissantes, donc décroissante sur I
4) f'(2) = -7 coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x = 2
ii) y = f'(2)(x - 2) + f(2)
...
y = -7x + 10
Ex 2)
1)i) AB(1;2) et par exemple u = 2AB soit u(2;1)
ii) (d) : -2x + y + c = 0
A ∈ (d) ⇒ -2x2 + (-1) + c = 0 soit c = 5
⇒ (d) : -2x + y + 5 = 0
2) (d') : y = -x/2 + 4
⇔ x + 2y - 4 = 0
⇒ v(-2;1) vecteur directeur de (d')
ii) AB.v = 1x(-2) + 2x1 = 0
⇒ v⊥AB ⇒ (d)⊥(d')
3) E(1;2)
Δ // (d) ⇒ AB vecteur directeur de Δ
⇒ (Δ) : -2x + y + c' = 0
E ∈ Δ ⇒ -2x1 + 2 + c' = 0 soit c' = 0
⇒ (Δ) : -2x + y = 0
Γ ⊥ Δ et E ∈ Γ
soit w(x;y) vecteur directeur de Δ
w.AB = 0 ⇒ x + 2y = 0 ⇒ w(-2y;y)
soit par exemple w(-2;1)
⇒ (Γ) : -x - 2y + k = 0
E ∈ Γ ⇒ -1 - 2x2 + k = 0 soit k = 5
⇒ (Γ) : -x - 2y + 5 = 0
