soit f(x) = (x + 1)(x + 4)
1) vérifier que pour tout réel x
a) f(x) = x² + 5 x + 4
Il suffit de développer f(x) = (x + 1)(x + 4) = x² + 4 x + x + 4 = x² + 5 x + 4
b) f(x) = (x + 5/2)² - 9/4 forme canonique
la forme canonique de f(x) s'écrit : a(x - α)² + β
α = - b/2a = - 5/2
β = f(α) = f(- 5/2) = (- 5/2)² + 5(- 5/2) + 4 = 25/4 - 25/2 + 4
⇒ 25/14 - 50/4 + 16/4 = - 9/4
f(x) = 1(x + 5/2)² - 9/4
2) résoudre les inéquations
a) f(x) < 0 ⇔ (x + 1)(x + 4) < 0 ⇒ x + 1 < 0 ⇒ x < - 1 et x + 4 > 0 ⇒ x > - 4
Tableau de signe
x - ∞ - 4 - 1 + ∞
x + 1 - - +
x + 4 - + +
f(x) + - +
l'ensemble des solutions de l'inéquation est S =]- 4 ; - 1[
b) f(x) > x² - 1 ⇔ x² + 5 x + 4 > x² - 1 ⇔ 5 x + 5 > 0
⇒ 5(x + 1) > 0 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ x > - 1
solutions de l'inéquation est S = ]- 1 ; + ∞[
c) f(x) > - 9/4 ⇔ (x + 5/2)² - 9/4 > - 9/4 ⇔ (x + 5/2)² > 0
⇒ x + 5/2 > 0 ⇒ x > - 5/2
L'ensemble des solutions de l'inéquation est S = ]- ∞ ; - 5/2[U]-5/2 ; + ∞[
