Bonjour,
Note de départ : Le point O sur le tableau est remplacé par le point J dans le problème.
C'est un problème avec plusieurs étapes pour répondre aux questions posées.
1) On calcule la mesure de CD dans le triangle BCD rectangle en C avec le théorème de Pythagore
BD² = BC² + CD²
(3+3)² = (2+2)² + CD²
6² =4² + CD²
CD² = 6² - 4²
CD² = 36-16
CD = √20 → valeur exacte
CD = 4,472135955 → valeur approchée
La mesure de CD est d'environ 4,47
2) Le triangle BCD semble être une configuration Thalès...
- deux sécantes en B
- Trois points alignés de part et d'autres dans le même sens B, I, C d'un côté et B, J, D de l'autre côté.
Par contre on ne sait pas si JI est parallèle à CD
Vérifions avec la réciproque du théorème de Thalès :
Si les points B, I, C sont alignés dans le même ordre que les points B, J, D et si BI/BC=BJ/BD, alors les droites (CD) et (IJ) sont parallèles.
On vérifie les rapports de proportionnalité :
BI/BC = 2/4 = 1/2
BJ/BD = 3/6 = 1/2
Les droites (CD) et (IJ) sont parallèles.
3) Calcul de IJ avec le théorème de Thalès.
On pose les rapports de proportionnalité :
CD/IJ = BC/BI = BD/BJ
On remplace par les valeurs que l'on connait :
4,47/IJ = 4/2 = 6/3
On fait un produit en croix :
IJ = 4,47 × 2 ÷ 4 = 2,23
La mesure de IJ est de 2,23
4) Calcul de la mesure de AC avec la trigonométrie :
On connait l'angle A = 38°
On connait la mesure du côté opposé BC = 4
On cherche la mesure du côté adjacent... On utilisera donc la Tangente.
Tan(Â) = BC/AC = 4/AC
AC = 4 / Tan(38)
La calculatrice affiche 5,119766529
La mesure de AC est d'environ 5,12
5) Calcul de AB avec le théorème de Pythagore ou bien la trigo (au choix)
Avec la trigo on a l'angle A = 38° on connait le côté opposé BC = 4 on cherche l'hypoténuse AB, on va utiliser le Sinus.
Sin(Â) = BC/AB = 4/AB
AB = 4/Sin(38) = 6,497076982
La mesure de AB est d'environ 6,5
6) Le périmètre de la figure...
a) Périmètre du demi-cercle de diamètre AB est :
P = (π×Diamètre)/2 (on prendra π = 3,14)
Or AB est le diamètre du demi-cercle accolé au triangle ACB rectangle en C
d'où Périmètre = 3,14 × 6,5 ÷ 2 = 20,41 ÷ 2 = 10,205
Le périmètre du demi-cercle de diamètre AB est d'environ 10,2
b) Le périmètre du demi-cercle de diamètre BD
P= (π × D)/2
P = 3,14 × 6 ÷ 2 = 18,84 ÷ 2 = 9,42
Le périmètre du demi-cercle de diamètre BD est d'environ 9,42
c) Périmètre de la figure = AC + demi-cercle AB + demi-cercle BD + DC
Périmètre de la figure = 5,12 + 10,2 + 9,42 + 4,47 = 29,21
Le périmètre de la figure est d'environ 29,21
7) Passons à l'aire de cette figure...
a) Aire du demi cercle de diamètre AB :
A = (π × Rayon²)/2
A = (3,14 × (6,5/2)² ] /2= [3,14 × (3,25)²] ÷ 2= 33,16625 ÷ 2 = 16,583125
L'aire du demi-cercle de diamètre AB est d'environ 16,58
b) Aire du demi-cercle de diamètre BD
Aire = π × 3² ÷ 2 = 3,14 × 9 ÷ 2 = 28,26÷2 = 14,13
L'aire du demi-cercle de diamètre BD est d'environ 14,13
c) Aire du triangle ABC
Aire d'un triangle = (Base × hauteur ) ÷ 2
A = 5,12× 2,23 ÷ 2 = 5,7088
L'aire du triangle ABC est d'environ 5,71
d) L'aire du triangle BCD
A = 4,47 × 4 ÷ 2 = 8,94
L'aire du triangle BCD est d'environ 8,94
8) Calcul de l'aire de la figure...
Il suffit d'ajouter les aires calculées ci-dessus
Aire de la figure = 5,71 + 16,53 + 14,13 + 8,94 = 45,31
L'aire de cette figure est d'environ 45,31
Je te laisse le soin de vérifier s'il n'y a pas d'erreur de calcul... mais aussi d'ajouter les unités de mesure pour chaque résultat car j'ignore si ce sont des cm, des m, ou autre chose !!
