Bonjour,
1. En continuant la droite AO, on obtient un triangle rectangle CBA rectangle en A.
En conséquence, si nous utilisions le théorème de Pythagore :
[tex]
BC^2 + AB^2 = AC^2\\
h^2 + l^2 = 2^2\\
h^2 + l^2 = 4\\
h^2 = 4 - l^2\\[/tex]
2. Il suffit de réutiliser ce que l'on a montré tout à l'heure :
[tex]l\times h^2=l\times(4-l^2)\\l\times h^2=4l-l^3\\l\times h^2=-l^3+4l[/tex]
3. a. Étudier le sens de variation de f(x) :
Racines de la dérivée :
[tex]f(x)=-x^3+4x\\\\f'(x)=-3x^2+4\\\\\Delta=b^2-4ac=0^2-4\times(-3)\times4=48\\\\x_1,x_2=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\x_1,x_2=\dfrac{-0\pm\sqrt{48}}{-6}\\\\
x_1,x_2=\pm\dfrac{4\sqrt{3}}{6}\\\\x_1,x_2=\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\\\\\boxed{S=\left\{-\dfrac{2\sqrt{3}}{3},\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right\}}[/tex]
Etude du signe de la dérivée :
Pour [tex]x\in\left]-\infty;-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right][/tex] la dérivée est négative et la fonction est décroissante.
Pour [tex]x\in\left[-\dfrac{2\sqrt{3}}{3};\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right][/tex] la dérivée est positive et la fonction est croissante.
Pour [tex]x\in\left[\dfrac{2\sqrt{3}}{3};+\infty\right[[/tex] la dérivée est négative et la fonction est décroissante.
Tableau (signe + variations) :
[tex] \left[\begin{array}{c|ccccccc}x&-\infty&&-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}&&\dfrac{2\sqrt{3}}{3}&&+\infty\\\\f'(x)&&-&0&+&0&-\\\\f(x)&^{+\infty}&\searrow&_{-\dfrac{16\sqrt{3}}{9}}&\nearrow&^{\dfrac{16\sqrt{3}}{9}}&\searrow&_{-\infty} \end{array}\right] [/tex]
Je te laisse faire la dernière question, tu as tous les éléments !
Bonne journée et bon courage :)
