Ex 1 :
1) f(t)=(1-t)e^t et F(t)=(at+b)e^t
F est une primitive de f
donc F'(t)=f(t)
donc a.e^t+(at+b).e^t=(1-t)e^t
par identification : a=-1 et a+b=1 donc b=2
donc F(t)=(2-t).e^t
ainsi u(1)=F(1)-F(0)=e-2
2) ∀t∈[0;1] : 0≤t≤1 donc 1-t≥0 donc (1-t)^n≥0 pour n≥1
or e^t>0 donc (1-t)^n.e^t≥0 sur [0;1]
par le th de positivité de l'intégrale on déduit que :
∀t∈[0;1] , ∀n≥1 : u(n)≥0
