1) a) Déterminer la fonction affine représentée par la droite (AC)
la fonction affine est : f (x) = a x + b
a : coefficient directeur
b : l'ordonnée à l'origine
a = 0 - 4)/(4 - 0) = - 4/4 = - 1
f (x) = - x + b
f(0) = 4 = - 0 + b ⇒ b = 4
⇒ f (x) = - x + 4
b) en déduire que EF = 4 - x
E( x ; 0) F ∈ (AC) a pour coordonnées F(x ; f(x))
EF = √(x - x)² + (4 - x - 0)² = √(4 - x)² = 4 - x 4 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4
⇒ EF = 4 - x
2) Calculer l'aire du triangle ABC et déterminer l'aire du rectangle EFGH en fonction de x
l'aire du triangle ABC est A1 = 1/2) * 4 * 8 = 16 cm²
l'aire du rectangle EFGH est : A2 = (4 - x)* 2 x = 8 x - 2 x²
3) a) Traduire le problème par une inéquation
A2 ≥ 3/8) * A1 ⇔ 8 x - 2 x² ≥ 3/8) * 16 ⇔ 8 x - 2 x² ≥ 6
b) Montrer que cette inéquation est équivalente à - 2 x² + 8 x - 6 ≥ 0
8 x - 2 x² ≥ 6 ⇔ 8 x - 2 x - 6 ≥ 0 ⇔ - 2 x² + 8 x - 6 ≥ 0
4) a) Développer (- 2 x + 6)(x - 1) = - 2 x² + 2 x + 6 x - 6 = - 2 x² + 8 x - 6
puis résoudre l'inéquation précédente
- 2 x² + 8 x - 6 ≥ 0 ⇔ (- 2 x + 6)(x - 1) ≥ 0
x - 4 1 3 4
- 2 x + 6 + + 0 -
x - 1 - 0 + +
P - + -
l'ensemble des solutions de l'inéquation est S =[1 ; 3]
Conclure pour que l'aire du rectangle EFGH soit au moins égale à 3/8 de l'aire du triangle ABC, il faut placer le point E d'abscisse x dans l'intervalle [1 ; 3]
