Bonjour,
3)a) On a démontré précédemment que f est décroissante sur [0;3]. Les coefficients directeurs des tangentes aux points d'abscisses x, pour tout x ∈ [0;3] sont donc négatifs. Donc pour tout x ∈ [0;3], f'(x) ≤ 0
On en déduit que plus le coefficient directeur est grand, plus sa valeur absolue est petite :
Pour tout a et b appartenant à [0;3], tels que 0 ≥ f'(a) > f'(b), |f'(a)| > |f'(b)|
b) f'(x) = [(2x - 6)(x² - 3x + 4,5) - (2x - 3)(x² - 6x + 9)]/(x² - 3x + 4,5)²
⇔ f'(x) = 3x(x - 3)/(x² - 3x + 4,5)²
⇒ f"(x) = [(6x - 9)(x² - 3x + 4,5)² - 3x(x - 3)[2(2x - 3)(x² - 3x + 4,5)]]/(.......)⁴
⇔ f"(x) = (x² - 3x + 4,5)[(6x - 9)(x² - 3x + 4,5) - 6x(x - 3)(2x - 3)]/(........)⁴
⇔ f"(x) = 3(2x - 3)[x² - 3x + 4,5 - 2x(x - 3)]/(......)³
⇔ f"(x) = 3(2x - 3)(-x² + 3x + 4,5)/(......)³
⇔ f"(x) = (x - 1,5)(-6x² + 18x + 27)/(......)³
Signe de (-6x² + 18x + 27) :
Δ = 18² - 4x(-6)x27 = 972
donc 2 racines : x₁ = (-18 - √972)/(-12) ≈ 4,09 ∉ [0;3]
et x₂ = (-18 + √972)/(-12) < 0 donc ∉ [0;3]
Donc sur [0;3], (-6x² + 18x + 27) ne change pas de signe. Pour x = 0, = 27, donc > 0
Même étude pour (x² - 3x + 4,5) : toujours positif, donc au cube, idem...
d) Donc : f"(x) a le signe de (x - 1,5) :
x 0 1,5 3
f"(x) - 0 +
f'(x) décroissante croissante
4) f' est donc minimale pour x₀ = 1,5
Tangente à C en x₀ : y = f'(1,5)(x - 1,5) + f(1,5)
f'(1,5) = -4/3
f(1,5) = 1
⇒ y = -4x/3 + 3
courbe ci-dessous
