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Rainbow6
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Bonjour,
Pourriez-vous m'aider pour cette exercice.
On considère la suiye (zn) definie pour tout entier naturel n par
[tex]zn = \frac{1 + i}{ {1 - i}^{n} }[/tex]
Pour quelles valeurs de n le nombre zn est-il réel?

P-S: En conjecturant j'ai trouvé que les n pour que zn soit réel suit la suite arithmétique de raison 4 et de premier terme 3. Mais prouver cette suite par récurrence n'est pas satisfaisant.

Sagot :

ProfdeMaths1
z(n)=(1+i)/(1-i^n)
1+i=√2.exp(iπ/4)
si n est pair alors 1-i^n=1-i^(2p)=1-(i²)^p=1-(-1)^p
                  si p est pair alors 1-(-1)^p=0
                                   donc z(4p) non défini !
                 si p est impair alors 1-(-1)^p=2
                                  donc z(n)=√2/2.exp(iπ/4)=1/2+1/2.i
                                  donc z(4p+2) non réel

si n est impair alors 1-i^n=1-i^(2p+1)=1-i.(i²)^p=1-i.(-1)^p
              si p est pair alors 1-i.(-1)^p=1-i.(-1)^(2k)=1-i=√2.exp(-iπ/4)
                                 donc z(n)=√2.exp(iπ/4)/(√2.exp(-iπ/4))=i
                                 donc z(4p+1) non réel
             si p est impair alors 1-i.(-1)^p=1-i.(-1)^(2k+1)=1+i=√2.exp(iπ/4)
                                 donc z(n)=√2.exp(iπ/4)/(√2.exp(iπ/4))=1
                                 donc z(4p+3) réel
conclusion :
si n=4p+3 alors z(n)=1 est réel





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