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J'ai un exo en math sur les dérivées et je ne trouve pas la réponse , je suis en 1er S et l'exercice est Soit la fonction f fonction définie sur ] -1 ; + infini [ par f(x)= x / x + 1 démontrer que f est dérivable en 2 d'exterminer f'(2)

Sagot :

Vin100
soit on calcule la dérivée 
f'(x) = -1/(x+1)^2 qui est continu en 2 donc f est dérivable en 2 et f'(2)=-1/9


soit on dit que f'(2)  est la limite de 
(f(2)-f(2+h)) / (h) lorsque h tends vers 0
( f(2)-(f2+h))/h = 1/h*(2/3-((2+h)/(3+h))=1/h*(6+2h-6-3h)/(3(3+h))=-1/3(3+h)

donc lim (f(2)-f(2+h)) / (h) = -1/9 lorsque h tends vers 0

donc f(x) est dérivable en x=2 et f'(2))=-1/9

j'espère que j'ai été assez clair.
Bonjour ;

On a : f(2) = 2/3 ;

donc : f(x) - f(2) = x/(x + 1) - 2/3 = (3x - 2x - 2)/(3(x + 1)) = (x - 2)/(3(x + 1)) ;

donc pour x ≠ 2 , on a : (f(x) - f(2))/(x - 2) = 1/(3(x + 1)) ;

donc lim(x → 2) (f(x) - f(2))/(x - 2) = lim (x → 2) 1/(3(x + 1)) = 1/9 ∈ IR ;

donc f est dérivable en 2 et on a : f ' (2) = 1/9 .
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