Sagot :
EX1
A(5 ; - 3) B(3 ; 2) C(18 ; 11) et D(20 ; 6)
1) a) calculer les coordonnées du vecteur AB
vect (AB) = (xb - xa ; yb - ya) = (3 - 5 ; 2 - (-3)) = (- 2 ; 5)
⇒ vect(AB) = (- 2 ; 5)
b) en déduire que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme
pour que ABCD soit un parallélogramme il faut que le vect(AB) = vect(DC)
vect(DC) = (18 - 20 ; 11 - 6) = (- 2 ; 5)
⇒ donc vect(AB) = vect(DC) ⇒ donc ABCD est un parallélogramme
c) ABCD est -il un losange; justifier
pour que ABCD soit un losange il faut que les côtés consécutifs soient égaux
vect(AD) vect(AB)
vect(AD) = (20 - 5 ; 6 + 3) = (15 ; 9)
⇒ donc vect(AB) ≠ vect(AD) ⇒ ABCD n'est pas un losange
2) déterminer les coordonnées du point M tel que ACBM soit un parallélogramme
pour que ACBM soit un parallélogramme, il faut que vect(AB) = vect(CM)
soit M(x ; y)
vect(CM) = (x - 18 ; y - 11)
vect (AB) = vect(CM) ⇔ (- 2 ; 5) = (x - 18 ; y - 11)
⇒ x - 18 = - 2 ⇒ x = - 2 + 18 = 16
y - 11 = 5 ⇒ y = 5 + 11 = 16
M(16 ; 16)
EX2
soit f définie sur R par : f (x) = 5 x² + 20 x - 480
1) a) démontrer que f (x) = 5(x + 2)² - 500 pour tout réel x
A partir de la fonction f (x) = 5 x² + 20 x - 480
la forme canonique générale est donnée par : f (x) = a(x - α)² + β
avec α = - b/2a = - 20/10 = - 2
β = f (α) = f(- 2) = 5(- 2)² + 20(- 2) + 480 = 20 - 520 = - 500
⇒ donc f (x) = 5(x + 2)² - 500
b) Démontrer que pour tout réel x : f (x) = 5(x - 8)(x + 12)
f (x) = 5 x² + 20 x - 480 = 0
Δ = b² - 4 ac = 20² - 4 * 5 * (- 480) = 400 + 9600 = 10000 ⇒ √10000 = 100
x1 = (- 20 + 100)/2*5 = 80/10 = 8
x2 = (- 20 - 100)/2*5 = - 120/10 = - 12
f (x) peut s'écrire sous la forme suivante : f (x) = a (x - x1)(x - x2)
⇒ donc f (x) = 5(x - 8)(x + 12)
2) la fonction f admet -elle un extremum sur R? si oui préciser sa nature
(maximum ou minimum) sa valeur et la valeur pour laquelle il est atteint
oui la fonction admet un extremum sur R ; il s'agit d'un minimum dont sa valeur est de - 500 et il est atteint pour x = - 2
3) Résoudre f (x) = 0 ⇔ 5(x - 8)(x + 12) = 0 ⇒ x - 8 = 0 ⇒ x = 8 ou
x + 12 = 0 ⇒ x = - 12
4) Résoudre l'inéquation 5 x² + 20 x < 480 ⇔ 5 x² + 20 x - 480 < 0
⇔ 5(x - 8)(x + 12) < 0
On établi le tableau de signe de f
x - ∞ - 12 8 + ∞
x - 8 - - 0 +
x + 12 - 0 + +
f (x) + 0 - 0 +
L'ensemble des solutions de l'inéquation est S = ]- 12 : 8 [
A(5 ; - 3) B(3 ; 2) C(18 ; 11) et D(20 ; 6)
1) a) calculer les coordonnées du vecteur AB
vect (AB) = (xb - xa ; yb - ya) = (3 - 5 ; 2 - (-3)) = (- 2 ; 5)
⇒ vect(AB) = (- 2 ; 5)
b) en déduire que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme
pour que ABCD soit un parallélogramme il faut que le vect(AB) = vect(DC)
vect(DC) = (18 - 20 ; 11 - 6) = (- 2 ; 5)
⇒ donc vect(AB) = vect(DC) ⇒ donc ABCD est un parallélogramme
c) ABCD est -il un losange; justifier
pour que ABCD soit un losange il faut que les côtés consécutifs soient égaux
vect(AD) vect(AB)
vect(AD) = (20 - 5 ; 6 + 3) = (15 ; 9)
⇒ donc vect(AB) ≠ vect(AD) ⇒ ABCD n'est pas un losange
2) déterminer les coordonnées du point M tel que ACBM soit un parallélogramme
pour que ACBM soit un parallélogramme, il faut que vect(AB) = vect(CM)
soit M(x ; y)
vect(CM) = (x - 18 ; y - 11)
vect (AB) = vect(CM) ⇔ (- 2 ; 5) = (x - 18 ; y - 11)
⇒ x - 18 = - 2 ⇒ x = - 2 + 18 = 16
y - 11 = 5 ⇒ y = 5 + 11 = 16
M(16 ; 16)
EX2
soit f définie sur R par : f (x) = 5 x² + 20 x - 480
1) a) démontrer que f (x) = 5(x + 2)² - 500 pour tout réel x
A partir de la fonction f (x) = 5 x² + 20 x - 480
la forme canonique générale est donnée par : f (x) = a(x - α)² + β
avec α = - b/2a = - 20/10 = - 2
β = f (α) = f(- 2) = 5(- 2)² + 20(- 2) + 480 = 20 - 520 = - 500
⇒ donc f (x) = 5(x + 2)² - 500
b) Démontrer que pour tout réel x : f (x) = 5(x - 8)(x + 12)
f (x) = 5 x² + 20 x - 480 = 0
Δ = b² - 4 ac = 20² - 4 * 5 * (- 480) = 400 + 9600 = 10000 ⇒ √10000 = 100
x1 = (- 20 + 100)/2*5 = 80/10 = 8
x2 = (- 20 - 100)/2*5 = - 120/10 = - 12
f (x) peut s'écrire sous la forme suivante : f (x) = a (x - x1)(x - x2)
⇒ donc f (x) = 5(x - 8)(x + 12)
2) la fonction f admet -elle un extremum sur R? si oui préciser sa nature
(maximum ou minimum) sa valeur et la valeur pour laquelle il est atteint
oui la fonction admet un extremum sur R ; il s'agit d'un minimum dont sa valeur est de - 500 et il est atteint pour x = - 2
3) Résoudre f (x) = 0 ⇔ 5(x - 8)(x + 12) = 0 ⇒ x - 8 = 0 ⇒ x = 8 ou
x + 12 = 0 ⇒ x = - 12
4) Résoudre l'inéquation 5 x² + 20 x < 480 ⇔ 5 x² + 20 x - 480 < 0
⇔ 5(x - 8)(x + 12) < 0
On établi le tableau de signe de f
x - ∞ - 12 8 + ∞
x - 8 - - 0 +
x + 12 - 0 + +
f (x) + 0 - 0 +
L'ensemble des solutions de l'inéquation est S = ]- 12 : 8 [
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