Bonjour,
Soit la suite telle que U(n+1)=(2U(n)+4)/3 avec n∈N et U(0)=1
1) U(1)=(2U(0)+4)/3=(2×1+4)/3=2
U(2)=(2U(1)+4)/3=(2×2+4)/3=8/3
U(3)=(2U(2)+4)/3=(2×(8/3)+4)/3=28/9
2) a) b) Voir pièce jointe
c) Il semble que la suite U(n) s'approche de 4.
3)a) Pour répondre à cette question, nous allons effectuer le calculer suivant:
V(n+1)/V(n)=(U(n+1)-4)/(U(n)-4)
V(n+1)/V(n)=(2/3U(n)+4/3-4)/(U(n)-4)
V(n+1)/V(n)=(2/3U(n)-8/3)/(U(n)-4)
V(n+1)/V(n)=(2/3)(U(n)-4)/(U(n)-4)
V(n+1)/V(n)=2/3=constante
La suite V(n) est donc bien une suite géométrique et sa raison est (2/3).
De plus, on a: V(0)=U(0)-4=1-4=-3
b) si V(n) est une suite géométrique donc elle est du type:
V(n)=V(0)×qⁿ
avec q=(2/3) et V(0)=-3 donc:
V(n)=(-3)ₓ(2/3)ⁿ
Et comme on sait que:
V(n)=U(n)-4
U(n)=V(n)+4
U(n)=4-3(2/3)ⁿ----->CQFD
c) Comme on a (2/3)≤1 donc si n⇒+∞ alors (2/3)ⁿ⇒0 donc on en déduis que:
Lim U(n) n⇒+∞=4
La suite U(n) est donc convergente vers 4
