Sagot :
Exo 3
1) Volume d'un pavé droit (base rectangulaire) = Longueur * largeur * hauteur
V = 4,7 * 3,8 * 6,5 ⇔ V = 116,09 dm³
Volume d'un cylindre = π * Rayon² * hauteur | Il faut voir le cylindre au sommet comme un cylindre que l'on aurait mis debout, qu'on aurait coupé la moitié (de haut en bas) et qu'on aurait couché une des deux moitiés sur le pavé donc 4,7 dm correspond au diamètre du cylindre et 3,8 dm correspond à la hauteur.
V = π * 4,7/2 * 3,8 ⇔ V ≈ 65,93 dm³ | Comme c'est un demi-cylindre, on divise le volume par 2, ce qui nous donne V ≈ 32,97 dm³.
Le volume de la borne est donc la somme du volume du pavé droit et du cylindre soit V ≈ 149,06 dm³.
2) (32,97 / 149,06 ) * 100 ≈ 22 %. * La partie cylindrique représente 22 % du volume total de la borne.
Exo 4
1) Si x=4, AB = 12 et AC = 11.
D'une part : AB² = 12² = 144
D'autre part : AC² + BC² = 11² + 5² = 121 + 25 = 146
AB² ≠ AC² + BC² donc le triangle n'est pas rectangle (pour x=4).
2) (x+7)² = x² + 2 * x * 7 + 7² = x² + 14x + 49 | AC²
(x+8)² = x² + 2 * x * 8 + 8² = x² + 16x + 64 | AB²
AB²-AC² = x² + 16x + 64 - (x² + 14x + 49)
⇔ AB²-AC² = x² - x² + 16x - 14x + 64 - 49
⇔ AB²-AC² = 2x + 15
3) Quand x = 0, AB = 8 et AC = 7.
Quand x = 5, AB = 13 et AC = 12
Quand x = 10, AB = 18 et AC = 17
Non, la valeur de BC² ne dépend pas du nombre x car la longueur du segment [BC] est fixé (à 5 (x n'apparaît pas)).
Pour que le triangle ABC soit rectangle, il faut que AB² = AC² + BC²
Soit : (x+8)² = (x+7)² + 5².
Deux méthode de résolution sont possibles : Soit on remplace (x+8)² et (x+7)² par leur valeur que l'on a calculé précédemment ; soit on voit que l'on peut avoir une équation de la forme a² - b² = constante avec a=x+8, b=x+7 et constante = 5². a² - b² = (a+b)(a-b)
On a donc : (x+8)² - (x+7)² = 5² ⇔ *** [(x+8)+(x+7)] [(x+8)-(x+7)] = 25
⇔ (x+8+x+7) (x+8-x-7) = 25 ⇔ (2x+15) * 1 = 25
⇔ 2x+15 = 25 ⇔ 2x = 10 ⇔ x = 5
*** (x+8)² - (x+7)² a déjà été calculé à la question 2), où on obtiens 2x+15 (le correcteur préfèrera que l'on utilise le résultat de la question précédente plutôt que d'utiliser une identité remarquable qui alourdit les calculs et fait perdre un peu de temps sur la rédaction) ; pour utiliser le résultat de la question précédente 2), il faut préciser que (x+8)² - (x+7)² = 2x+15 avant de remplacer (x+8)² - (x+7)² par la valeur trouvée précédemment.
Oui, il existe une valeur de x pour laquelle le triangle ABC est rectangle et c'est quand x = 5.
Exo 5
Périmètre d'un cercle = 2 * π * rayon.
Pour le cercle de rayon 5 cm (avant agrandissement), on a P = 2 * π * 5
⇔ P ≈ 31,4 cm.
Pour trouver le coefficient d'agrandissement du cercle, on divise le périmètre du cercle agrandi par le périmètre du cercle sans agrandissement.
Soit : 41,7 / 31,4 = 1,5
Donc le coefficient d'agrandissement du cercle est de 1,5.
*On peut aussi diviser 41,7 par 2 * π (qui donne environ 7,5 cm) pour trouver le rayon du cercle agrandi et faire le rapport 7,5 / 5 qui donnera aussi 1,5 comme agrandissement.
1) Volume d'un pavé droit (base rectangulaire) = Longueur * largeur * hauteur
V = 4,7 * 3,8 * 6,5 ⇔ V = 116,09 dm³
Volume d'un cylindre = π * Rayon² * hauteur | Il faut voir le cylindre au sommet comme un cylindre que l'on aurait mis debout, qu'on aurait coupé la moitié (de haut en bas) et qu'on aurait couché une des deux moitiés sur le pavé donc 4,7 dm correspond au diamètre du cylindre et 3,8 dm correspond à la hauteur.
V = π * 4,7/2 * 3,8 ⇔ V ≈ 65,93 dm³ | Comme c'est un demi-cylindre, on divise le volume par 2, ce qui nous donne V ≈ 32,97 dm³.
Le volume de la borne est donc la somme du volume du pavé droit et du cylindre soit V ≈ 149,06 dm³.
2) (32,97 / 149,06 ) * 100 ≈ 22 %. * La partie cylindrique représente 22 % du volume total de la borne.
Exo 4
1) Si x=4, AB = 12 et AC = 11.
D'une part : AB² = 12² = 144
D'autre part : AC² + BC² = 11² + 5² = 121 + 25 = 146
AB² ≠ AC² + BC² donc le triangle n'est pas rectangle (pour x=4).
2) (x+7)² = x² + 2 * x * 7 + 7² = x² + 14x + 49 | AC²
(x+8)² = x² + 2 * x * 8 + 8² = x² + 16x + 64 | AB²
AB²-AC² = x² + 16x + 64 - (x² + 14x + 49)
⇔ AB²-AC² = x² - x² + 16x - 14x + 64 - 49
⇔ AB²-AC² = 2x + 15
3) Quand x = 0, AB = 8 et AC = 7.
Quand x = 5, AB = 13 et AC = 12
Quand x = 10, AB = 18 et AC = 17
Non, la valeur de BC² ne dépend pas du nombre x car la longueur du segment [BC] est fixé (à 5 (x n'apparaît pas)).
Pour que le triangle ABC soit rectangle, il faut que AB² = AC² + BC²
Soit : (x+8)² = (x+7)² + 5².
Deux méthode de résolution sont possibles : Soit on remplace (x+8)² et (x+7)² par leur valeur que l'on a calculé précédemment ; soit on voit que l'on peut avoir une équation de la forme a² - b² = constante avec a=x+8, b=x+7 et constante = 5². a² - b² = (a+b)(a-b)
On a donc : (x+8)² - (x+7)² = 5² ⇔ *** [(x+8)+(x+7)] [(x+8)-(x+7)] = 25
⇔ (x+8+x+7) (x+8-x-7) = 25 ⇔ (2x+15) * 1 = 25
⇔ 2x+15 = 25 ⇔ 2x = 10 ⇔ x = 5
*** (x+8)² - (x+7)² a déjà été calculé à la question 2), où on obtiens 2x+15 (le correcteur préfèrera que l'on utilise le résultat de la question précédente plutôt que d'utiliser une identité remarquable qui alourdit les calculs et fait perdre un peu de temps sur la rédaction) ; pour utiliser le résultat de la question précédente 2), il faut préciser que (x+8)² - (x+7)² = 2x+15 avant de remplacer (x+8)² - (x+7)² par la valeur trouvée précédemment.
Oui, il existe une valeur de x pour laquelle le triangle ABC est rectangle et c'est quand x = 5.
Exo 5
Périmètre d'un cercle = 2 * π * rayon.
Pour le cercle de rayon 5 cm (avant agrandissement), on a P = 2 * π * 5
⇔ P ≈ 31,4 cm.
Pour trouver le coefficient d'agrandissement du cercle, on divise le périmètre du cercle agrandi par le périmètre du cercle sans agrandissement.
Soit : 41,7 / 31,4 = 1,5
Donc le coefficient d'agrandissement du cercle est de 1,5.
*On peut aussi diviser 41,7 par 2 * π (qui donne environ 7,5 cm) pour trouver le rayon du cercle agrandi et faire le rapport 7,5 / 5 qui donnera aussi 1,5 comme agrandissement.
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