voici la reponse
1) La population v(n) de B se modifie comme suit :
comme 3/10 s'en vont vers A, il y en a 7/10 qui restent : (7/10)v(n)
en contrepartie, elle reçoit 20% ou 1/5 de la population A u(n) : (1/5)u(n).
Le total de sa population l'année suivante s'élève donc à (7/10)v(n) + (1/5)u(n).
Même raisonnement pour la population u de A.
Pour alléger l'écriture :
u(n+1) = 0.8u(n) + 0.3v(n)
v(n+1) = 0.7v(n) + 0.2u(n)
2a) Aucune fourmi ne sort de l'ensemble formé par A et B et aucune n'y entre. La population totale r(n) est donc constante. Il faut le démontrer formellement.
v(n) = r(n)-u(n)
u(n+1) = 0.8u(n) + 0.3v(n)
= 0.8u(n) + 0.3)(r(n)-(un))
= 0.3u(n) + 0.3r(n) - 0.3u(n)
= 0.5u(n) + 0.3r(n)
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v(n+1) = 0.7v(n) + 0.2u(n)
= 0.7(r(n)-u(n)) + 0.2u(n)
= 0.7r(n) - 0.7u(n) + 0.2u(n)
= 0.7r(n) - 0.5u(n)
------
en additionnant les deux résultats (somme = r(n+1)), on retrouve r(n)
2b) -2u(n+1) = -2(0.8u(n)+0.3v(n))
3v(n+1) = 3(0.7v(n)+(0.2u(n))
en additionnant après développement : t(n+1) = -1u(n) + 1;5v(n)
t(n+1) est donc 2 fois plus grand que t(n)
le premier terme u(0) est (-2 * 230 millions) + (3 * 180 millions)
c) On a un système de deux équations :
u(n)+v(n) = r(n) = 410 millions
-2u(n)+3v(n) = 80 millions / 2n
